📐 Το Θεώρημα του Holditch – Ένα Απρόσμενο Γεωμετρικό Αποτέλεσμα

Πάρτε μια κλειστή κυρτή καμπύλη και στο εσωτερικό της μια χορδή \(AB\). Πάνω στη χορδή επιλέγουμε ένα σημείο \(P\), έτσι ώστε

\[ AP=a, \qquad PB=b. \]

Τώρα αρχίζουμε να κινούμε τη χορδή γύρω από την καμπύλη, διατηρώντας συνεχώς τα δύο άκρα \(A\) και \(B\) πάνω σε αυτήν. Καθώς η χορδή κινείται, το σημείο \(P\) διαγράφει μια δεύτερη κλειστή καμπύλη στο εσωτερικό της αρχικής. 

Και εδώ εμφανίζεται το εντυπωσιακό αποτέλεσμα.

Θεώρημα του Holditch

Η διαφορά ανάμεσα στο εμβαδόν της αρχικής καμπύλης και στο εμβαδόν της καμπύλης που διαγράφει το \(P\) είναι

\[ \boxed{\pi ab} \]

Γιατί είναι τόσο παράξενο;

Το εκπληκτικό είναι ότι στον τύπο δεν εμφανίζεται καθόλου το σχήμα της αρχικής καμπύλης. Το αποτέλεσμα εξαρτάται μόνο από τις δύο αποστάσεις \(a\) και \(b\), στις οποίες το \(P\) χωρίζει τη χορδή. :

Η καμπύλη μπορεί να αλλάξει μορφή και μέγεθος, αλλά —υπό τις κατάλληλες προϋποθέσεις του θεωρήματος— η διαφορά των δύο εμβαδών παραμένει:

\[ \boxed{A_{\text{εξωτερικό}}-A_{\text{εσωτερικό}}=\pi ab}. \]

Και ξαφνικά εμφανίζεται μια... έλλειψη

Υπάρχει ακόμη μία όμορφη σύμπτωση. Το εμβαδόν μιας έλλειψης με ημιάξονες \(a\) και \(b\) είναι

\[ A_{\text{έλλειψης}}=\pi ab. \]

Άρα η περιοχή που «χάνεται» κατά την κίνηση της χορδής έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με μια έλλειψη ημιαξόνων \(a\) και \(b\) — παρόλο που στην κατασκευή του θεωρήματος δεν υπάρχει καμία έλλειψη. :

Η μορφή της αρχικής καμπύλης αλλάζει.
Η τροχιά του \(P\) αλλάζει.

Αλλά η διαφορά των εμβαδών παραμένει πάντα

\[ \boxed{\pi ab}. \]

Ένας κύκλος ως ειδική περίπτωση

Υπάρχει μια ιδιαίτερα όμορφη περίπτωση. Αν η αρχική καμπύλη είναι κύκλος, πάρουμε ως χορδή μια διάμετρο και το \(P\) είναι το κέντρο της, τότε

\[ a=b=r. \]

Το \(P\) δεν διαγράφει πλέον καμπύλη — παραμένει στο κέντρο. Επομένως το Θεώρημα του Holditch δίνει:

\[ A=\pi r^2. \]

Έτσι ο γνωστότερος ίσως τύπος εμβαδού της Γεωμετρίας εμφανίζεται ως μια πολύ απλή ειδική περίπτωση της ίδιας ιδέας.

Ποιος ήταν ο Holditch;

Το αποτέλεσμα δημοσιεύθηκε το 1858 από τον Βρετανό μαθηματικό Hamnet Holditch, ο οποίος διετέλεσε πρόεδρος του Caius College στο Cambridge. Η εργασία του εμφανίστηκε στο Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. :

Περισσότερο από ενάμιση αιώνα αργότερα, το θεώρημα εξακολουθεί να εντυπωσιάζει για τον ίδιο λόγο: από μια κινούμενη χορδή μέσα σε μια σχεδόν αυθαίρετη καμπύλη προκύπτει ένας εξαιρετικά απλός και σταθερός τύπος.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →