📐 Θεώρημα του Holditch – Ένα Σταθερό Εμβαδόν Κρυμμένο σε Κάθε Καμπύλη

📐 Θεώρημα του Holditch – Ένα Απρόσμενο Εμβαδόν

Πάρτε μια ομαλή, κλειστή και κυρτή καμπύλη και μέσα της μια χορδή σταθερού μήκους. Καθώς τα δύο άκρα της χορδής κινούνται πάνω στην καμπύλη, ένα σταθερό σημείο της χορδής διαγράφει μια δεύτερη κλειστή καμπύλη.

Αν το σημείο αυτό χωρίζει τη χορδή σε δύο σταθερά τμήματα μήκους \(c\) και \(c'\), τότε το συνολικό μήκος της χορδής είναι

\[ c+c'. \]

Το 1858 ο Hamnet Holditch απέδειξε ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα: υπό τις κατάλληλες συνθήκες ομαλότητας και απλότητας των καμπυλών, η διαφορά ανάμεσα στο εμβαδόν που περικλείει η αρχική καμπύλη και στο εμβαδόν που περικλείει ο γεωμετρικός τόπος του κινούμενου σημείου είναι

\[ \boxed{\Delta E=\pi cc'}. \]

Το παράξενο είναι αυτό που δεν εμφανίζεται στον τύπο: ούτε το σχήμα της αρχικής καμπύλης ούτε το συνολικό εμβαδόν της. Η διαφορά εξαρτάται αποκλειστικά από τα δύο σταθερά τμήματα της κινούμενης χορδής.

Και ξαφνικά εμφανίζεται μια έλλειψη

Ο αριθμός \(\pi cc'\) είναι ακριβώς το εμβαδόν μιας έλλειψης με ημιάξονες \(c\) και \(c'\):

\[ E_{\text{έλλειψης}}=\pi cc'. \]

Κι όμως, η αρχική καμπύλη δεν χρειάζεται να είναι έλλειψη — ούτε καν να της μοιάζει. Αυτό είναι ίσως το πιο όμορφο στοιχείο του θεωρήματος: μια αυθαίρετη κυρτή καμπύλη και μια κινούμενη χορδή κρύβουν ένα εμβαδόν που έχει ακριβώς τη μορφή του εμβαδού μιας έλλειψης.

Αν μάλιστα το σημείο είναι το μέσο της χορδής, τότε \(c=c'\) και η διαφορά των εμβαδών γίνεται

\[ \Delta E=\pi c^2, \]

δηλαδή ακριβώς το εμβαδόν ενός κύκλου ακτίνας \(c\).

Για παράδειγμα, όταν η αρχική καμπύλη είναι κύκλος ακτίνας \(R\), ο γεωμετρικός τόπος του σημείου διαίρεσης είναι επίσης κύκλος. Αν η ακτίνα του είναι \(r\), το Θεώρημα του Holditch δίνει αμέσως

\[ \pi R^2-\pi r^2=\pi cc', \]

και επομένως

\[ r=\sqrt{R^2-cc'}. \]

Το κυκλικό παράδειγμα κάνει το αποτέλεσμα εύκολο να το πιστέψουμε. Η πραγματική έκπληξη είναι ότι η ίδια ποσότητα \(\pi cc'\) επιβιώνει όταν ο κύκλος αντικατασταθεί από μια πολύ γενικότερη κλειστή κυρτή καμπύλη.

Σημείωση: Η σύντομη διατύπωση του θεωρήματος συχνά παραλείπει τεχνικές προϋποθέσεις. Δεν αρκεί μια εντελώς αυθαίρετη κλειστή καμπύλη και οποιαδήποτε κίνηση της χορδής· απαιτούνται κατάλληλες συνθήκες ώστε η κίνηση και ο παραγόμενος γεωμετρικός τόπος να έχουν την απαιτούμενη ομαλή και απλή συμπεριφορά.

Πηγή: Wolfram MathWorld – Holditch's Theorem

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →