🚀 Integration Bee: Το Κόλπο της Εφαπτομένης - Συμμετρία στο π/4

🪞 Integration Bee: Το Κόλπο της Εφαπτομένης

Η ανάκλαση \(x\mapsto\pi/4-x\) στο διάστημα \([0,\pi/4]\)

Ένα ολοκλήρωμα με λογάριθμο και εφαπτομένη μοιάζει να απαιτεί κάποια περίπλοκη αντιπαράγωγο. Στην πραγματικότητα, λύνεται με μια ανάκλαση του διαστήματος και μια απλή εξίσωση:

\[I=\int_0^{\pi/4}\ln(1+\tan x)\,dx.\]

📐 Πού βρίσκεται η συμμετρία;

Η αντικατάσταση

\[x\longmapsto\frac{\pi}{4}-x\]

αντιστρέφει το διάστημα \([0,\pi/4]\). Πρόκειται για ανάκλαση ως προς το μέσο του διαστήματος, δηλαδή το \(x=\pi/8\) — όχι ως προς το \(\pi/4\).

Ο τύπος της εφαπτομένης διαφοράς δίνει

\[\tan\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right) =\frac{1-\tan x}{1+\tan x}.\]

🪄 Η λύση

Εφαρμόζουμε την ανάκλαση στο ολοκλήρωμα:

\[\begin{aligned} I &=\int_0^{\pi/4} \ln\!\left(1+\tan\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)dx\\[3pt] &=\int_0^{\pi/4} \ln\!\left(1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)dx. \end{aligned}\]

Η παράσταση μέσα στον λογάριθμο απλοποιείται:

\[1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x} =\frac{2}{1+\tan x}.\]

Επομένως,

\[\begin{aligned} I &=\int_0^{\pi/4} \bigl[\ln2-\ln(1+\tan x)\bigr]dx\\[3pt] &=\frac{\pi}{4}\ln2-I. \end{aligned}\]

Άρα \(2I=(\pi/4)\ln2\) και τελικά

\[\boxed{I=\frac{\pi}{8}\ln2}.\]

🔑 Γιατί πέτυχε το τέχνασμα;

Για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση \(g\) στο \([a,b]\), ισχύει

\[\int_a^b g(x)\,dx =\int_a^b g(a+b-x)\,dx.\]

Στο πρόβλημά μας, η ανακλώμενη έκφραση δεν είναι απλώς ίση με μια άλλη μορφή. Ικανοποιεί τη σημειακή σχέση

\[\ln(1+\tan x) +\ln\!\left(1+\tan\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) =\ln2.\]

Δηλαδή, οι τιμές σε δύο συμμετρικά σημεία του διαστήματος έχουν σταθερό άθροισμα. Το ολοκλήρωμα ισούται με το μήκος του διαστήματος επί το μισό αυτής της σταθεράς.

🔢 Μια σωστή παραμετρική γενίκευση

Για \(c>0\), ορίζουμε

\[I_c=\int_0^{\pi/4}\ln\!\bigl(c(1+\tan x)\bigr)\,dx.\]

Στα συμμετρικά σημεία, το γινόμενο των δύο λογαριθμικών ορισμάτων είναι

\[c(1+\tan x)\, c\!\left(1+\tan\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) =2c^2.\]

Άρα

\[\boxed{I_c=\frac{\pi}{8}\ln(2c^2)}.\]

👁️ Με την αντικατάσταση \(u=\tan x\)

Το αρχικό ολοκλήρωμα μπορεί επίσης να γραφτεί

\[I=\int_0^1\frac{\ln(1+u)}{1+u^2}\,du.\]

Η μορφή αυτή είναι ισοδύναμη, αλλά δεν κάνει το αποτέλεσμα άμεσο. Η ανάκλαση στο αρχικό μεταβλητό \(x\) αποκαλύπτει πιο καθαρά τη δομή του προβλήματος.

🏆 Πρόκληση για τον αναγνώστη

Υπολογίστε με την ίδια συμμετρία:

\[J=\int_0^{\pi/4}\ln\!\bigl(3+3\tan x\bigr)\,dx.\]

Δείτε τη λύση

Στον γενικό τύπο θέτουμε \(c=3\):

\[\boxed{J=\frac{\pi}{8}\ln18}.\]

Το μάθημα: όταν τα όρια είναι \(0\) και \(\pi/4\), ελέγξτε την ανάκλαση \(x\mapsto\pi/4-x\). Η κρίσιμη συμμετρία βρίσκεται στο μέσο \(\pi/8\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →