🚀 Integration Bee: Lobachevsky's Property - Κόβοντας το π στη μέση

🌗 Integration Bee: Ο Τύπος του Lobachevsky

Από το άπειρο διάστημα στο μισό του \(\pi\)

Μπορεί ένα ολοκλήρωμα από το \(0\) έως το \(\infty\), με τον δύσκολο παράγοντα \(\sin x/x\), να μετατραπεί σε ένα απλό ολοκλήρωμα στο πεπερασμένο διάστημα \([0,\pi/2]\); Ναι — όταν η υπόλοιπη συνάρτηση διαθέτει την κατάλληλη περιοδικότητα και συμμετρία.

📐 Η ταυτότητα

Έστω \(f\) μια επαρκώς ομαλή και φραγμένη συνάρτηση που ικανοποιεί:

1. Περιοδικότητα: \(f(x+\pi)=f(x)\).
2. Συμμετρία: \(f(\pi-x)=f(x)\) για \(0\le x\le\pi\).

Τότε, με το ακατάλληλο ολοκλήρωμα να νοείται ως όριο, ισχύει ο τύπος

\[\boxed{ \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}f(x)\,dx =\int_0^{\pi/2}f(x)\,dx }.\]

Η ταυτότητα είναι γνωστή ως τύπος ή ιδιότητα του Lobachevsky. Το όνομα συνδέεται με τον Ρώσο μαθηματικό Νικολάι Λομπατσέφσκι, γνωστό κυρίως για τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

🪞 Τι εκφράζουν οι δύο συνθήκες;

Η \(\pi\)-περιοδικότητα επαναλαμβάνει το ίδιο σχήμα σε κάθε διάστημα μήκους \(\pi\). Η δεύτερη συνθήκη σημαίνει ότι η γραφική παράσταση στο \([0,\pi]\) είναι συμμετρική ως προς την ευθεία \(x=\pi/2\).

Παραδείγματα που ικανοποιούν και τις δύο συνθήκες:

• \(f(x)=1\),
• \(f(x)=\cos^2x\),
• \(f(x)=\sin^2x\),
• \(f(x)=1/(1+\cos^2x)\),
• \(f(x)=\cos(2x)\).

Η \(f(x)=\sin x\) ικανοποιεί τη συμμετρία \(f(\pi-x)=f(x)\), αλλά όχι την απαιτούμενη περιοδικότητα, αφού \(\sin(x+\pi)=-\sin x\).

🔍 Γιατί λειτουργεί;

Χωρίζουμε τον θετικό ημιάξονα σε διαστήματα μήκους \(\pi\). Χρησιμοποιώντας την περιοδικότητα της \(f\) και τη σχέση \(\sin(x+k\pi)=(-1)^k\sin x\), γράφουμε τυπικά

\[\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}f(x)\,dx =\int_0^{\pi}f(t)\sin t \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{t+k\pi}\,dt.\]

Θέτουμε

\[S(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{t+k\pi}.\]

Χωρίζουμε τώρα το ολοκλήρωμα στο \(\pi/2\) και στο δεύτερο μισό θέτουμε \(t\mapsto\pi-t\). Λόγω της συμμετρίας της \(f\) και του ημιτόνου, προκύπτει

\[I=\int_0^{\pi/2}f(t)\sin t \bigl(S(t)+S(\pi-t)\bigr)\,dt.\]

Η μερική κλασματική ανάπτυξη της \(\csc t\) δίνει

\[S(t)+S(\pi-t)=\frac{1}{\sin t}.\]

Ο παράγοντας \(\sin t\) ακυρώνεται και απομένει

\[I=\int_0^{\pi/2}f(t)\,dt.\]

Μια πλήρως αυστηρή απόδειξη χειρίζεται πρώτα πεπερασμένα αθροίσματα και στη συνέχεια περνά στο όριο, ώστε να δικαιολογούνται οι εναλλαγές αθροίσματος και ολοκλήρωσης.

🧠 Εφαρμογή

Να υπολογιστεί

\[I=\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, \frac{dx}{1+\cos^2x}.\]

Η συνάρτηση \(f(x)=1/(1+\cos^2x)\) είναι \(\pi\)-περιοδική και συμμετρική ως προς \(\pi/2\). Επομένως,

\[I=\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cos^2x}.\]

Θέτουμε \(u=\tan x\). Τότε \(dx=du/(1+u^2)\) και \(\cos^2x=1/(1+u^2)\). Άρα

\[I=\int_0^{\infty}\frac{du}{u^2+2} =\frac{1}{\sqrt2} \left[\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt2}\right)\right]_0^{\infty}.\]

\[\boxed{I=\frac{\pi}{2\sqrt2}}.\]

📜 Το ολοκλήρωμα του Dirichlet

Αν επιλέξουμε \(f(x)=1\), ο τύπος δίνει αμέσως

\[\boxed{ \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx =\frac{\pi}{2} }.\]

Πρόκειται για το κλασικό ολοκλήρωμα του Dirichlet, το οποίο εμφανίζεται στη θεωρία Fourier, στην επεξεργασία σημάτων και σε πολλά προβλήματα μαθηματικής φυσικής.

🏆 Πρόκληση για τον αναγνώστη

Υπολογίστε:

\[J=\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}\, \frac{dx}{1+\sin^2x}.\]

Υπόδειξη: Η \(f(x)=1/(1+\sin^2x)\) ικανοποιεί και τις δύο συνθήκες. Μετά την εφαρμογή του τύπου, θέστε \(u=\tan x\).

Δείτε τη λύση

\[J=\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\sin^2x} =\int_0^{\infty}\frac{du}{1+2u^2} =\boxed{\frac{\pi}{2\sqrt2}}.\]

Το μάθημα: η περιοδικότητα επαναλαμβάνει τη συνάρτηση, ενώ η συμμετρία ζευγαρώνει τα δύο μισά της περιόδου. Μαζί συμπυκνώνουν το άπειρο διάστημα στο \([0,\pi/2]\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →