📐 Τρίγωνο του Kepler: Μπορείτε να βρείτε την περίμετρό του;

📐 Ένα Τρίγωνο Kepler με Εμβαδόν 1

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει εμβαδόν 1 τετραγωνική μονάδα και οι τρεις πλευρές του βρίσκονται σε γεωμετρική πρόοδο.

❓ Το ερώτημα

Ποια είναι η περίμετρος αυτού του τριγώνου;

Υπάρχει εδώ μια όμορφη λεπτομέρεια: τα ορθογώνια τρίγωνα των οποίων οι πλευρές βρίσκονται σε γεωμετρική πρόοδο είναι γνωστά ως τρίγωνα Kepler (Kepler triangles).

Το όνομά τους συνδέεται με τον Johannes Kepler και με μια ιδιαίτερα κομψή σχέση ανάμεσα στο Πυθαγόρειο θεώρημα, τη γεωμετρική πρόοδο και τη χρυσή τομή.

Μπορείτε να βρείτε την περίμετρο χωρίς να προσπαθήσετε να «μαντέψετε» πρώτα τις τρεις πλευρές;

🔍 Εμφάνιση λύσης

Έστω ότι οι τρεις πλευρές, σε αύξουσα σειρά, είναι

\[ a,\quad ar,\quad ar^2, \]

όπου \(r>1\). Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, η μεγαλύτερη πλευρά \(ar^2\) είναι η υποτείνουσα. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

\[ a^2+(ar)^2=(ar^2)^2. \]

Διαιρώντας με \(a^2\):

\[ 1+r^2=r^4. \]

Αν θέσουμε \(u=r^2\), παίρνουμε

\[ u^2-u-1=0. \]

Επειδή \(u>0\),

\[ u=\frac{1+\sqrt5}{2}=\varphi, \]

όπου \(\varphi\) είναι η χρυσή τομή. Επομένως

\[ r=\sqrt{\varphi}. \]

Οι δύο κάθετες πλευρές είναι \(a\) και \(ar\). Επειδή το εμβαδόν είναι 1:

\[ \frac12 a(ar)=1, \]

άρα

\[ a^2r=2. \]

Θέλουμε την περίμετρο

\[ P=a(1+r+r^2). \]

Επειδή \(a^2=2/r\), έχουμε

\[ P^2=\frac{2}{r}(1+r+r^2)^2. \]

Από τη σχέση \(r^4=r^2+1\) προκύπτει

\[ (1+r+r^2)^2 =2r(2+\sqrt5). \]

Επομένως

\[ P^2=4(2+\sqrt5), \]

και τελικά

\[ \boxed{P=2\sqrt{\,2+\sqrt5\,}}. \]

Αριθμητικά,

\[ P\approx4.116. \]

✨ Η κρυμμένη ομορφιά

Το πρόβλημα ξεκινά μόνο με ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μια γεωμετρική πρόοδο και ένα εμβαδόν. Το Πυθαγόρειο θεώρημα όμως αναγκάζει τον λόγο της προόδου να ικανοποιεί μια εξίσωση που οδηγεί στη χρυσή τομή. Αυτή ακριβώς η σύνδεση βρίσκεται στην καρδιά του τριγώνου του Kepler.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →