∫ Πώς Παραγωγίζουμε ένα Ολοκλήρωμα; Από το Θεμελιώδες Θεώρημα στον Τύπο του Leibniz

Παράγωγος ενός ολοκληρώματος; Αφού η παραγώγιση και η ολοκλήρωση είναι αντίστροφες διαδικασίες, δεν θα έπρεπε απλώς να επιστρέφουμε στην αρχική συνάρτηση;

Σε μια πολύ σημαντική περίπτωση, ναι. Αν \(f\) είναι συνεχής και

\[ F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, \]

τότε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού μας δίνει αμέσως

\[ \boxed{F'(x)=f(x)} \]

Γεωμετρικά, το \(F(x)\) εκφράζει το συσσωρευμένο προσημασμένο εμβαδόν μέχρι το \(x\). Αν μετακινήσουμε το \(x\) κατά μια πολύ μικρή ποσότητα, το νέο λεπτό κομμάτι εμβαδού έχει ύψος περίπου \(f(x)\). Έτσι η στιγμιαία μεταβολή του εμβαδού είναι ακριβώς \(f(x)\).

Τα πράγματα γίνονται πιο ενδιαφέροντα όταν και τα δύο όρια εξαρτώνται από το \(x\):

\[ F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt. \]

Τότε συνδυάζουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα με τον κανόνα της αλυσίδας και παίρνουμε

\[ \boxed{ F'(x)=f\!\left(h(x)\right)h'(x) -f\!\left(g(x)\right)g'(x) } \]

Για παράδειγμα, αν

\[ F(x)=\int_{x^2}^{x^2-x}e^{-t^3}\,dt, \]

δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Η παράγωγος προκύπτει απευθείας:

\[ F'(x) =(2x-1)e^{-(x^2-x)^3} -2x\,e^{-x^6}. \]

Υπάρχει όμως και ένα ακόμη επίπεδο. Τι συμβαίνει αν και η ίδια η ολοκληρωτέα συνάρτηση εξαρτάται από το \(x\);

\[ F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}f(t,x)\,dt. \]

Τότε εμφανίζεται ο τύπος του Leibniz:

\[ \boxed{ F'(x)= \int_{g(x)}^{h(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(t,x)\,dt +f(h(x),x)h'(x) -f(g(x),x)g'(x) } \]

Ο τύπος περιλαμβάνει ουσιαστικά τρεις πηγές μεταβολής: αλλάζει το πάνω όριο, αλλάζει το κάτω όριο και μπορεί να αλλάζει με το \(x\) ακόμη και η συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμα.

Γι' αυτό η παραγώγιση κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος είναι πολύ περισσότερο από ένα τέχνασμα υπολογισμού. Χρησιμοποιείται στη μελέτη συναρτήσεων που ορίζονται μέσω ολοκληρωμάτων, στις διαφορικές εξισώσεις, στα όρια και σε πολλά προβλήματα της μαθηματικής φυσικής.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →