🌌 Το Θεώρημα Lindemann–Weierstrass και οι Υπερβατικοί Αριθμοί

🌌 Το Θεώρημα Lindemann–Weierstrass

Ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα στη θεωρία των υπερβατικών αριθμών είναι το Θεώρημα Lindemann–Weierstrass. Αποκαλύπτει μια εντυπωσιακή σχέση ανάμεσα στους αλγεβρικούς αριθμούς και την εκθετική συνάρτηση.

Θεώρημα Lindemann–Weierstrass

Αν οι

\[ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \]

είναι αλγεβρικοί αριθμοί, γραμμικώς ανεξάρτητοι πάνω από το \(\mathbb{Q}\), τότε οι αριθμοί

\[ e^{\alpha_1},e^{\alpha_2},\ldots,e^{\alpha_n} \]

είναι αλγεβρικώς ανεξάρτητοι.

Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο \(P\) με αλγεβρικούς συντελεστές τέτοιο ώστε

\[ P\!\left(e^{\alpha_1},e^{\alpha_2},\ldots,e^{\alpha_n}\right)=0. \]

Τι σημαίνει αυτό στην απλούστερη περίπτωση;

Αν \(\alpha\neq0\) είναι αλγεβρικός αριθμός, τότε

\[ \boxed{e^\alpha\ \text{είναι υπερβατικός}.} \]

Για παράδειγμα, επειδή οι \(1\), \(2\), \(\sqrt2\) και πολλοί άλλοι αριθμοί είναι μη μηδενικοί αλγεβρικοί αριθμοί, προκύπτει ότι

\[ e,\qquad e^2,\qquad e^{\sqrt2} \]

είναι υπερβατικοί.

✨ Μια βαθιά ιδέα:

Ξεκινώντας από έναν μη μηδενικό αλγεβρικό αριθμό \(\alpha\), η εκθετική συνάρτηση μάς οδηγεί στον υπερβατικό αριθμό \(e^\alpha\).

Το θεώρημα συνδέεται στενά με ένα από τα διασημότερα αποτελέσματα του 19ου αιώνα: την απόδειξη ότι το \(\pi\) είναι υπερβατικός αριθμός, γεγονός που έδωσε οριστική αρνητική απάντηση στο αρχαίο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →