🥧 Πέντε Απρόσμενες Εμφανίσεις του π - Από το Mandelbrot στον Ramanujan — και πέρα

🥧 Πέντε Απρόσμενες Εμφανίσεις του π

Το \(\pi\) το γνωρίζουμε από τον κύκλο:

\[ \pi=\frac{\text{μήκος κύκλου}}{\text{διάμετρος}}. \]

Θα περίμενε λοιπόν κανείς να το συναντά κυρίως στη Γεωμετρία. Κι όμως, το \(\pi\) εμφανίζεται σε μέρη όπου δεν υπάρχει κανένας εμφανής κύκλος: στους πρώτους αριθμούς, στις πιθανότητες, στα φράκταλ, στις διοφαντικές προσεγγίσεις και σε εντυπωσιακές άπειρες σειρές.

Ας δούμε πέντε χαρακτηριστικές περιπτώσεις.

1. Το π και δύο τυχαίοι ακέραιοι

Επιλέγουμε δύο θετικούς ακεραίους. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι πρώτοι μεταξύ τους, δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να είναι \(1\);

Η απάντηση είναι:

\[ \boxed{ P(\gcd(m,n)=1)=\frac{6}{\pi^2} } \]

ή περίπου

\[ \frac{6}{\pi^2}\approx0.607927. \]

Δηλαδή περίπου 60,8%.

Γιατί όμως εμφανίζεται εδώ το \(\pi\);

Για κάθε πρώτο αριθμό \(p\), η πιθανότητα δύο τυχαίοι ακέραιοι να μην είναι και οι δύο πολλαπλάσια του \(p\) είναι

\[ 1-\frac1{p^2}. \]

Λαμβάνοντας υπόψη όλους τους πρώτους, οδηγούμαστε στο γινόμενο

\[ \prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac1{p^2}\right) = \frac1{\zeta(2)}. \]

Αλλά από το περίφημο πρόβλημα της Βασιλείας γνωρίζουμε ότι

\[ \zeta(2)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. \]

Και έτσι το \(\pi\) εμφανίζεται μέσα σε ένα καθαρά αριθμητικό πρόβλημα.

2. Το π μέσα στο Σύνολο Mandelbrot

Το σύνολο Mandelbrot ορίζεται μέσω της απλής επανάληψης

\[ z_0=0, \qquad z_{n+1}=z_n^2+c. \]

Για κάθε μιγαδικό \(c\), παρακολουθούμε την τροχιά του \(0\). Αν παραμένει φραγμένη, τότε το \(c\) ανήκει στο σύνολο Mandelbrot.

Και εδώ συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό.

Κοντά σε ορισμένα ειδικά σημεία του συνόλου, όπως το

\[ c=\frac14, \]

αν πλησιάσουμε το όριο από κατάλληλη κατεύθυνση και μετρήσουμε τον αριθμό των επαναλήψεων που χρειάζονται ώστε η τροχιά να διαφύγει, εμφανίζεται — μετά από κατάλληλη κανονικοποίηση — το \(\pi\).

Το φαινόμενο είχε παρατηρηθεί αριθμητικά εδώ και δεκαετίες. Αποδείχθηκε για το \(c=1/4\) και νεότερες εργασίες το επέκτειναν σε άλλα σημεία διακλάδωσης του συνόλου Mandelbrot.

Ένα \(\pi\) κρυμμένο όχι σε έναν κύκλο, αλλά στη δυναμική ενός φράκταλ.

3. Ο Ramanujan και ο μυστηριώδης 1103

Το 1914 ο Srinivasa Ramanujan δημοσίευσε μια σειρά εξαιρετικά γρήγορων τύπων για τον υπολογισμό του \(1/\pi\).

Ο διασημότερος ίσως είναι:

\[ \boxed{ \frac1\pi= \frac{2\sqrt2}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!\,(1103+26390n)} {(n!)^4\,396^{4n}} } \]

Αν κρατήσουμε μόνο τον πρώτο όρο, \(n=0\), παίρνουμε ήδη

\[ \pi\approx \frac{9801}{2206\sqrt2} = 3.141592730\ldots \]

μια εκπληκτικά καλή προσέγγιση.

Οι αριθμοί \(1103\), \(26390\), \(396\) και \(9801\) φαίνονται σχεδόν μαγικοί. Δεν είναι όμως τυχαίοι.

Η βαθύτερη εξήγηση βρίσκεται στη θεωρία των αρθρωτών εξισώσεων και αρθρωτών συναρτήσεων. Η συγκεκριμένη ταυτότητα συνδέεται με μια modular σχέση τάξης \(58\).

Το πραγματικά συναρπαστικό ιστορικό ερώτημα δεν είναι λοιπόν «γιατί εμφανίζεται αυθαίρετα το 1103;», αλλά πώς ακριβώς οδηγήθηκε ο Ramanujan σε μια τόσο βαθιά και αποτελεσματική κατασκευή.

4. Ένα αθώο όριο που μας οδηγεί στο π

Ας εξετάσουμε:

\[ \boxed{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2\sin n} } \]

Με την πρώτη ματιά μοιάζει με μια συνηθισμένη άσκηση Ανάλυσης.

Το πρόβλημα βρίσκεται στο ότι υπάρχουν ακέραιοι \(n\) που μπορούν να βρεθούν εξαιρετικά κοντά σε ακέραια πολλαπλάσια του \(\pi\). Τότε το \(\sin n\) μπορεί να γίνει πολύ μικρό.

Αν \(m\) είναι ο πλησιέστερος ακέραιος στο \(n/\pi\), τότε ουσιαστικά πρέπει να καταλάβουμε πόσο μικρή μπορεί να γίνει η ποσότητα

\[ |n-m\pi|. \]

Και αυτό μετατρέπεται σε ερώτημα για το πόσο καλά μπορεί το \(\pi\) να προσεγγιστεί από ρητούς αριθμούς:

\[ \left| \pi-\frac{n}{m} \right|. \]

Το πρόβλημα συνδέεται έτσι με το μέτρο αρρητότητας του \(\pi\).

Με τις σημερινές γνώσεις δεν είναι γνωστό αν \[ \frac{1}{n^2\sin n}\longrightarrow0. \] Αν το όριο υπάρχει, αναγκαστικά είναι \(0\), αλλά η απόδειξη της σύγκλισης συνδέεται με βαθιά ερωτήματα διοφαντικής προσέγγισης του \(\pi\).

Ένα φαινομενικά απλό όριο αποδεικνύεται λοιπόν πολύ πιο δύσκολο απ' όσο υποψιαζόμαστε.

5. Το π ως γινόμενο πάνω στους πρώτους αριθμούς

Μία από τις κλασικότερες σειρές για το \(\pi\) είναι η σειρά Gregory–Leibniz:

\[ \frac{\pi}{4} = 1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}+\cdots \]

Οι παρονομαστές είναι οι περιττοί αριθμοί και τα πρόσημα εναλλάσσονται.

Η ίδια σταθερά όμως μπορεί να συνδεθεί απευθείας με τους πρώτους αριθμούς.

Χωρίζουμε τους περιττούς πρώτους σε δύο οικογένειες:

\[ p\equiv1\pmod4 \qquad\text{και}\qquad p\equiv3\pmod4. \]

Τότε προκύπτει το γινόμενο Euler

\[ \boxed{ \frac{\pi}{4} = \prod_{\substack{p\ {\rm prime}\\p\equiv1\ (4)}} \frac{p}{p-1} \; \prod_{\substack{p\ {\rm prime}\\p\equiv3\ (4)}} \frac{p}{p+1} } \]

Για παράδειγμα, οι πρώτοι

\[ 5,13,17,29,\ldots \]

ανήκουν στην πρώτη οικογένεια, ενώ

\[ 3,7,11,19,\ldots \]

ανήκουν στη δεύτερη.

Έτσι το \(\pi\), που ξεκίνησε ως λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, εμφανίζεται ξανά μέσα στην αριθμητική δομή των πρώτων αριθμών.

🥧 Γιατί εμφανίζεται παντού το π;

Δεν υπάρχει μία μοναδική απάντηση. Σε ορισμένες περιπτώσεις η παρουσία του εξηγείται μέσω της συνάρτησης ζήτα, σε άλλες μέσω της μιγαδικής ανάλυσης, των αρθρωτών συναρτήσεων ή της θεωρίας αριθμών.

Αυτό ακριβώς κάνει το \(\pi\) τόσο συναρπαστικό: ένας αριθμός που γνωρίσαμε μετρώντας κύκλους εμφανίζεται ξανά και ξανά σε περιοχές των Μαθηματικών όπου, με την πρώτη ματιά, κανένας κύκλος δεν υπάρχει.

Για τους τύπους του Ramanujan: Wolfram MathWorld – Pi Formulas

Για την κατασκευή της σειράς Ramanujan: RISC – Ramanujan-Sato Series for 1/π

Για την εμφάνιση του π στο Mandelbrot: Pi in the Mandelbrot Set Everywhere

Ιστορική εργασία του Euler για τους πρώτους modulo 4: Euler – On the Sum of the Series Formed from the Prime Numbers

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →