🔺Το «Θαύμα» του Morley: Ένα ισόπλευρο τρίγωνο κρυμμένο παντού

Πάρτε ένα εντελώς τυχαίο τρίγωνο — σκαληνό, οξυγώνιο, αμβλυγώνιο ή ισοσκελές. Χωρίστε καθεμία από τις τρεις γωνίες του σε τρία ίσα μέρη και εξετάστε τα σημεία όπου τέμνονται ανά δύο οι γειτονικοί εσωτερικοί τριχοτόμοι.

Το αποτέλεσμα είναι απρόσμενο και απόλυτο: τα τρία αυτά σημεία είναι πάντοτε οι κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Θεώρημα τριχοτόμων του Morley

Σε κάθε επίπεδο τρίγωνο, τα τρία σημεία τομής των γειτονικών εσωτερικών τριχοτόμων των γωνιών του σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.

Πώς κατασκευάζεται το τρίγωνο Morley;

Έστω ένα τρίγωνο \(ABC\). Από κάθε κορυφή χαράζουμε δύο ημιευθείες που χωρίζουν την αντίστοιχη γωνία σε τρία ίσα μέρη. Συνολικά προκύπτουν έξι τριχοτόμοι.

Κοντά σε καθεμία από τις πλευρές \(AB\), \(BC\) και \(CA\), δύο γειτονικοί τριχοτόμοι τέμνονται. Αν ονομάσουμε τα τρία σημεία τομής \(P,Q,R\), τότε το θεώρημα δηλώνει ότι

\[PQ=QR=RP.\]

Το τρίγωνο \(PQR\) ονομάζεται πρώτο τρίγωνο Morley.

Το μήκος της πλευράς του

Αν \(A,B,C\) είναι τα μέτρα των γωνιών του αρχικού τριγώνου και \(R\) η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του, τότε η κοινή πλευρά \(s\) του τριγώνου Morley δίνεται από τον συμμετρικό τύπο

\[s=8R\sin\!\left(\frac{A}{3}\right)\sin\!\left(\frac{B}{3}\right)\sin\!\left(\frac{C}{3}\right).\]

Προσοχή στον συμβολισμό: το \(R\) στον τύπο είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου συνήθως συμβολίζεται με \(r\) και δεν πρέπει να συγχέεται με αυτήν.

Ο τύπος είναι από μόνος του μια σύντομη απόδειξη της ισοπλευρότητας: το μήκος που προκύπτει για καθεμία από τις τρεις πλευρές είναι ακριβώς η ίδια συμμετρική παράσταση ως προς τις γωνίες \(A,B,C\).

Το εμβαδόν του «κρυμμένου» τριγώνου

Επειδή το τρίγωνο Morley είναι ισόπλευρο, το εμβαδόν του είναι \(E_M=\frac{\sqrt3}{4}s^2\). Αν αντικαταστήσουμε τον προηγούμενο τύπο, παίρνουμε

\[E_M=16\sqrt3\,R^2\sin^2\!\left(\frac{A}{3}\right)\sin^2\!\left(\frac{B}{3}\right)\sin^2\!\left(\frac{C}{3}\right).\]

Γιατί θεωρείται «θαύμα»;

Το αρχικό τρίγωνο δεν χρειάζεται να έχει καμία συμμετρία. Μπορεί να είναι έντονα παραμορφωμένο και οι τρεις γωνίες του να είναι τελείως διαφορετικές. Παρ’ όλα αυτά, οι έξι τριχοτόμοι «συντονίζονται» και δημιουργούν στο εσωτερικό του την πιο συμμετρική δυνατή μορφή τριγώνου.

Η έκπληξη γίνεται μεγαλύτερη επειδή η γενική τριχοτόμηση μιας γωνίας δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο με κανόνα και διαβήτη. Αυτό δεν εμποδίζει το θεώρημα: οι τριχοτόμοι ορίζονται γεωμετρικά, ακόμη κι όταν δεν είναι κατασκευάσιμοι με τα κλασικά ευκλείδεια εργαλεία.

Λίγη ιστορία

Το θεώρημα ανακαλύφθηκε το 1899 από τον Αγγλοαμερικανό μαθηματικό Frank Morley (1860–1937). Η διατύπωσή του είναι τόσο απλή ώστε γίνεται αμέσως κατανοητή, όμως οι αποδείξεις του είναι απροσδόκητα απαιτητικές. Στη διάρκεια των επόμενων δεκαετιών εμφανίστηκαν πολλές τριγωνομετρικές, αλγεβρικές και καθαρά γεωμετρικές αποδείξεις.

Το εντυπωσιακό συμπέρασμα

Κάθε τρίγωνο, όσο ασύμμετρο κι αν φαίνεται, περιέχει μέσω των τριχοτόμων των γωνιών του ένα απολύτως ισόπλευρο τρίγωνο. Η συμμετρία δεν είναι ορατή στο αρχικό σχήμα — αναδύεται από τις σχέσεις των γωνιών του.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →