🎲 Δεσμευμένη Πιθανότητα: Γιατί Διαιρούμε με \(P(B)\);

Ένας από τους πρώτους τύπους που συναντάμε στις πιθανότητες είναι

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \qquad P(B)>0. \]

Ο τύπος είναι εύκολος να απομνημονευτεί. Το ουσιαστικό ερώτημα όμως είναι διαφορετικό:

Γιατί αυτός ο τύπος περιγράφει ακριβώς αυτό που εννοούμε όταν λέμε «η πιθανότητα του \(A\), δεδομένου ότι συνέβη το \(B\)»;

Μόλις γνωρίζουμε ότι συνέβη το \(B\), όλα τα αποτελέσματα έξω από το \(B\) παύουν να μας ενδιαφέρουν. Είναι σαν να αντικαθιστούμε τον αρχικό δειγματικό χώρο με έναν νέο, μικρότερο χώρο που αποτελείται μόνο από τα αποτελέσματα του \(B\).

Μέσα σε αυτόν τον νέο χώρο, το γεγονός \(A\) περιορίζεται στο \[ A\cap B. \]

Υπάρχει όμως ένα πρόβλημα. Στον αρχικό χώρο το \(B\) είχε πιθανότητα \(P(B)\), ενώ τώρα αποτελεί ολόκληρο τον νέο δειγματικό χώρο. Επομένως πρέπει η συνολική πιθανότητά του να γίνει \(1\).

Για να συμβεί αυτό, διαιρούμε όλες τις πιθανότητες μέσα στο \(B\) με \(P(B)\). Έτσι \[ P(B\mid B)=\frac{P(B)}{P(B)}=1. \]

Κατά συνέπεια, η πιθανότητα του τμήματος του \(A\) που εξακολουθεί να βρίσκεται μέσα στον νέο χώρο είναι

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}. \]

Με μία φράση:
Δεσμεύω ως προς \(B\) σημαίνει κρατώ μόνο το \(B\) και ξανακανονικοποιώ τις πιθανότητες ώστε το \(B\) να έχει πλέον πιθανότητα \(1\).

Ένα απλό παράδειγμα

Ρίχνουμε ένα δίκαιο ζάρι και θέτουμε \[ A=\{\text{φέρνουμε αριθμό μεγαλύτερο από }3\} \] και \[ B=\{\text{φέρνουμε άρτιο αριθμό}\}. \]

Αρχικά έχουμε \[ B=\{2,4,6\}. \]

Αν όμως γνωρίζουμε ήδη ότι συνέβη το \(B\), τότε οι αριθμοί \(1,3,5\) αποκλείονται. Ο νέος μας «κόσμος» αποτελείται μόνο από \[ \{2,4,6\}. \]

Από αυτά τα τρία δυνατά αποτελέσματα, το \(A\) πραγματοποιείται στα \(4\) και \(6\). Επομένως, διαισθητικά, \[ P(A\mid B)=\frac{2}{3}. \]

Ο ορισμός δίνει ακριβώς το ίδιο: \[ P(A\cap B)=P(\{4,6\})=\frac{2}{6}, \qquad P(B)=\frac{3}{6}, \] άρα \[ P(A\mid B) = \frac{2/6}{3/6} = \frac23. \]

Το \(\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) δεν είναι ένας αυθαίρετος τύπος.
Είναι η μαθηματική έκφραση του «ξέρω ότι συνέβη το \(B\), άρα εξετάζω πλέον τον κόσμο μόνο μέσα στο \(B\)».

Από τον ίδιο ορισμό παίρνουμε αμέσως και τον γνωστό κανόνα του γινομένου: \[ \boxed{P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)}. \]

Η δεσμευμένη πιθανότητα, λοιπόν, δεν αλλάζει αυθαίρετα τις πιθανότητες. Αλλάζει την πληροφορία που διαθέτουμε και, μαζί της, τον δειγματικό χώρο μέσα στον οποίο εξετάζουμε το γεγονός.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →