EisatoponAI: 🔶 Οι ρόμβοι Penrose — Γωνίες και εμβαδά

🔶 Οι ρόμβοι Penrose — Γωνίες και εμβαδά

Τα περίφημα πλακίδια Penrose μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικούς ρόμβους: έναν παχύ και έναν λεπτό.

Οι γωνίες τους δεν είναι τυχαίες. Συνδέονται στενά με τη συμμετρία τάξης \(5\), το κανονικό πεντάγωνο και τη χρυσή τομή.

🧠 Πρόκληση

1. Ποιες είναι οι γωνίες των δύο ρόμβων Penrose;

2. Αν κάθε ρόμβος έχει πλευρά \[ a=4\text{ cm}, \] ποιο είναι το εμβαδόν καθενός;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Στους δύο ρόμβους Penrose οι οξείες γωνίες είναι αντίστοιχα

\[ 72^\circ \qquad\text{και}\qquad 36^\circ. \]

Θυμηθείτε ότι οι διαδοχικές γωνίες ενός ρόμβου είναι παραπληρωματικές. Έτσι μπορείτε αμέσως να βρείτε και τις δύο αμβλείες γωνίες.

Για το εμβαδόν ενός ρόμβου πλευράς \(a\) και γωνίας \(\theta\), χρησιμοποιήστε

\[ E=a^2\sin\theta. \]

Επομένως, για \(a=4\), αρκεί να υπολογίσετε

\[ 16\sin72^\circ \qquad\text{και}\qquad 16\sin36^\circ. \]

Για μια επιπλέον πρόκληση, υπολογίστε και τον λόγο των δύο εμβαδών. Θα εμφανιστεί ένας από τους διασημότερους αριθμούς της Γεωμετρίας.