EisatoponAI: ⭕ Το Θεώρημα του Pitot για Εφαπτόμενα Τετράπλευρα

$Τετράπλευρο με εγγεγραμμένο κίτρινο κύκλο, με τις απέναντι πλευρές σημειωμένες ως $a,c$ και $b,d$, μαζί με τη σχέση $a+c=b+d$, παρουσιασμένο σε μαύρο σχολικό πίνακα με το λογότυπο του Eisatopon κάτω δεξιά.$
⭕ Το Θεώρημα του Pitot

Ένα τετράπλευρο λέγεται περιγεγραμμένο σε κύκλο όταν και οι τέσσερις πλευρές του εφάπτονται στον ίδιο κύκλο.

Αν τα μήκη των διαδοχικών πλευρών του είναι $a,b,c,d$, τότε ισχύει μια εξαιρετικά απλή και όμορφη σχέση:

\[ \boxed{a+c=b+d} \]

Το άθροισμα των μηκών δύο απέναντι πλευρών είναι ίσο με το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο.

Η απόδειξη βασίζεται σε ένα γνωστό θεώρημα: τα εφαπτόμενα τμήματα προς έναν κύκλο που άγονται από το ίδιο εξωτερικό σημείο είναι ίσα.

Αν συμβολίσουμε τα μήκη των εφαπτόμενων τμημάτων από τις τέσσερις κορυφές με $x,y,z,w$, τότε οι πλευρές γράφονται:

\[ a=x+y,\qquad b=y+z,\qquad c=z+w,\qquad d=w+x. \]

Επομένως:

\[ a+c=(x+y)+(z+w) \]

\[ b+d=(y+z)+(w+x). \]

Και τα δύο αθροίσματα είναι ίσα με:

\[ x+y+z+w. \]

Άρα:

\[ \boxed{a+c=b+d}. \]

💡 Μια χρήσιμη συνέπεια: η ημιπερίμετρος ενός τέτοιου τετραπλεύρου είναι ίση με το άθροισμα οποιουδήποτε ζεύγους απέναντι πλευρών:

\[ \boxed{s=a+c=b+d}. \]