📐 Η Ανισότητα του Popoviciu για Κυρτές Συναρτήσεις

📐 Η Ανισότητα Popoviciu

Μία ιδιαίτερα κομψή σχέση για τις κυρτές συναρτήσεις είναι η ανισότητα του Popoviciu.

Έστω \(I\) ένα διάστημα και

\[ f:I\longrightarrow\mathbb{R} \]

μία κυρτή συνάρτηση. Τότε, για οποιαδήποτε \(a,b,c\in I\), ισχύει:

\[ \boxed{ \frac{2}{3} \left[ f\!\left(\frac{a+b}{2}\right) + f\!\left(\frac{b+c}{2}\right) + f\!\left(\frac{c+a}{2}\right) \right] \le \frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3} + f\!\left(\frac{a+b+c}{3}\right) } \]

Η ανισότητα συγκρίνει τις τιμές της κυρτής συνάρτησης στα τρία μέσα ανά δύο

\[ \frac{a+b}{2},\qquad \frac{b+c}{2},\qquad \frac{c+a}{2} \]

με τις τιμές της στα αρχικά σημεία \(a,b,c\) και στο κοινό τους μέσο

\[ \frac{a+b+c}{3}. \]

🧠 Πρόκληση

Μπορείτε να αποδείξετε την ανισότητα χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό της κυρτότητας;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Θέστε

\[ m=\frac{a+b+c}{3}. \]

Παρατηρήστε τώρα, για παράδειγμα, ότι

\[ \frac{a+b}{2} = \frac14a+\frac14b+\frac12m. \]

Ανάλογες σχέσεις ισχύουν κυκλικά για \(\frac{b+c}{2}\) και \(\frac{c+a}{2}\).

Εφαρμόστε την κυρτότητα της \(f\) σε καθεμία από αυτές τις τρεις παραστάσεις και στη συνέχεια προσθέστε τις ανισότητες που θα προκύψουν.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →