🧵 Δύο Πανέμορφοι Τύποι για το π — και η Εκπληκτική Σειρά του Ramanujan

Άπειρες σειρές · Διπλά παραγοντικά · Ταχύτητα σύγκλισης

🧵 Δύο Πανέμορφοι Δρόμοι προς το \(\pi\)

Ένας στοιχειώδης τύπος και ένα υπολογιστικό αριστούργημα του Ramanujan

🌀 Ένα φωλιασμένο γινόμενο για το \(\pi/2\)

\[ \frac{\pi}{2} =1+\frac13\left(1+\frac25\left(1+\frac37\left(1+\frac49(1+\cdots)\right)\right)\right). \]

Ανοίγοντας διαδοχικά τις παρενθέσεις, παίρνουμε:

\[ \frac{\pi}{2} =1+\frac13+\frac{1\cdot2}{3\cdot5} +\frac{1\cdot2\cdot3}{3\cdot5\cdot7}+\cdots. \]

Ο γενικός όρος μετά το αρχικό \(1\) είναι

\[ a_n=\frac{n!}{3\cdot5\cdots(2n+1)} =\frac{n!}{(2n+1)!!}. \]

🔐 Μια σύντομη απόδειξη με ολοκλήρωμα

Ισχύει η ταυτότητα

\[ \int_0^1(1-x^2)^n\,dx =\frac{2^n n!}{(2n+1)!!}=2^n a_n. \]

Άρα

\[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n =\int_0^1\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1-x^2}{2}\right)^n dx. \]

Η εσωτερική σειρά είναι γεωμετρική:

\[ \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1-x^2}{2}\right)^n =\frac{2}{1+x^2}. \]

Επομένως

\[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n =\int_0^1\frac{2}{1+x^2},dx =2\arctan(1)=\frac{\pi}{2}. \]

⚡ Η περίφημη σειρά του Ramanujan

Η δεύτερη σχέση του screenshot γράφεται με διπλά παραγοντικά:

\[ \frac1\pi=\sqrt8\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1103+26390n)(2n-1)!!(4n-1)!!} {99^{,4n+2}32^n(n!)^3}. \]

Με τη σύμβαση \((-1)!!=1\), ο τύπος ισχύει και για \(n=0\).

🧩 Τι είναι το διπλό παραγοντικό;

Το σύμβολο \(n!!\) πολλαπλασιάζει αριθμούς που μειώνονται ανά δύο:

\[ (2n-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1), \]

\[ (2n)!!=2\cdot4\cdot6\cdots(2n). \]

Χρησιμοποιώντας

\[ (2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n n!}, \qquad (4n-1)!!=\frac{(4n)!}{2^{2n}(2n)!}, \]

η σειρά μετατρέπεται στην κλασική μορφή:

\[ \boxed{ \frac1\pi=\frac{2\sqrt2}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4,396^{4n}} }. \]

🔐 Πόσο γρήγορη είναι;

Αν κρατήσουμε μόνο τον όρο \(n=0\), παίρνουμε

\[ \frac1\pi\approx\frac{2\sqrt2}{9801}\cdot1103, \]

οπότε

\[ \pi\approx3{,}141592730013\ldots \]

Ήδη ο πρώτος όρος δίνει περίπου οκτώ σωστά δεκαδικά ψηφία. Κάθε νέος όρος προσθέτει περίπου άλλα οκτώ, γεγονός εκπληκτικό για την εποχή του Ramanujan.

🎯 Δύο διαφορετικές ομορφιές

Ο πρώτος τύπος είναι στοιχειώδης και αποκαλύπτει το \(\pi\) μέσα από μια γεωμετρική σειρά και ένα απλό ολοκλήρωμα. Ο δεύτερος ανήκει στον βαθύτερο κόσμο των αρθρωτών συναρτήσεων και μετατρέπει το \(\pi\) σε υπολογιστικό θρίαμβο. Η ίδια σταθερά, δύο εντελώς διαφορετικά είδη μαθηματικής ομορφιάς.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →

Σχετικά άρθρα