🤔 Το «Περίεργο Παράδοξο» του Raymond Smullyan

Ο Raymond Smullyan παρουσίασε στην πρώτη Gathering for Gardner ένα φαινομενικά απλό αριθμητικό παράδοξο.

Θεωρούμε δύο θετικούς ακέραιους αριθμούς \(x\) και \(y\). Γνωρίζουμε ότι ο ένας είναι διπλάσιος από τον άλλον, αλλά δεν γνωρίζουμε ποιος.

Πρώτος συλλογισμός

Αν \(x>y\), τότε

\[ x=2y \]

και επομένως η διαφορά τους είναι

\[ x-y=2y-y=y. \]

Αν, αντίθετα, \(y>x\), τότε

\[ x=\frac{y}{2}, \]

οπότε

\[ y-x=y-\frac{y}{2}=\frac{y}{2}. \]

Επειδή

\[ y>\frac{y}{2}, \]

φαίνεται να καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η διαφορά όταν \(x>y\) είναι μεγαλύτερη από τη διαφορά όταν \(y>x\).

Δεύτερος συλλογισμός

Έστω τώρα \(d\) η διαφορά μεταξύ των δύο αριθμών. Εφόσον ο μεγαλύτερος είναι πάντοτε διπλάσιος του μικρότερου, η διαφορά τους είναι ίση με τον μικρότερο αριθμό:

\[ d=\lvert x-y\rvert=\min(x,y). \]

Άρα φαίνεται ότι είτε \(x>y\) είτε \(y>x\), η διαφορά είναι απλώς η ίδια ποσότητα \(d\).

⚡ Και εδώ εμφανίζεται το παράδοξο.

Ο πρώτος συλλογισμός φαίνεται να λέει ότι η μία διαφορά είναι μεγαλύτερη από την άλλη, ενώ ο δεύτερος ότι είναι ίση με την άλλη.

❓ Πού βρίσκεται το λάθος;

Και οι επιμέρους υπολογισμοί φαίνονται σωστοί.
Ποιο λεπτό λογικό σφάλμα δημιουργεί την αντίφαση;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →