🌊 Η απόδειξη της Υπόθεσης Riemann που δεν ήταν απόδειξη

Στις 24 Σεπτεμβρίου 2018, στο Heidelberg Laureate Forum, ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα ανέβηκε στο βήμα και ανακοίνωσε κάτι συγκλονιστικό: είχε βρει μια «απλή απόδειξη με μια ριζικά νέα προσέγγιση» για την Υπόθεση Riemann.

Ο Sir Michael Atiyah ήταν τότε 89 ετών. Είχε τιμηθεί τόσο με το Μετάλλιο Fields όσο και με το Βραβείο Abel και είχε συνδέσει το όνομά του με το θεώρημα δείκτη Atiyah–Singer. Η μαθηματική του αυθεντία ήταν αδιαμφισβήτητη. Η προτεινόμενη απόδειξή του, όμως, όχι.

Τι λέει η Υπόθεση Riemann;

Για πραγματικό \(s>1\), η συνάρτηση ζήτα του Riemann ορίζεται από τη σειρά

\(\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\cdots\)

Με αναλυτική συνέχεια η συνάρτηση επεκτείνεται σχεδόν σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Διαθέτει τα «τετριμμένα» μηδενικά \(-2,-4,-6,\ldots\), αλλά και μη τετριμμένα μηδενικά μέσα στην κρίσιμη λωρίδα

\(0<\operatorname{Re}(s)<1\).

Η Υπόθεση Riemann, που διατυπώθηκε το 1859, ισχυρίζεται ότι κάθε μη τετριμμένο μηδενικό βρίσκεται ακριβώς στην κρίσιμη ευθεία

\(\operatorname{Re}(s)=\frac12\).

Η θέση αυτών των μηδενικών συνδέεται βαθιά με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Μια απόδειξη θα έδινε πολύ ακριβέστερο έλεγχο στις αποκλίσεις από τη μέση συμπεριφορά τους.

Ο ισχυρισμός των πέντε σελίδων

Ο Atiyah παρουσίασε ένα κείμενο μόλις πέντε σελίδων. Το κεντρικό εργαλείο του ήταν ένα αντικείμενο που ονόμαζε συνάρτηση Todd, \(T(s)\), συνδεδεμένο —κατά τον ίδιο— με παλαιότερες ιδέες των von Neumann, Hirzebruch και Dirac, καθώς και με τη σταθερά λεπτής υφής της φυσικής.

Το επιχείρημα επιχειρούσε να οδηγήσει σε αντίφαση αν υπήρχε μη τετριμμένο μηδενικό έξω από την κρίσιμη ευθεία. Αν όλες οι ιδιότητες που απέδιδε στη \(T(s)\) ήταν αποδεδειγμένες, η διαδρομή θα φαινόταν εντυπωσιακά σύντομη.

Πού βρισκόταν το πρόβλημα;

Η συνάρτηση Todd δεν είχε οριστεί και θεμελιωθεί επαρκώς. Το επιχείρημα απαιτούσε να διαθέτει συγκεκριμένες αναλυτικές ιδιότητες, αλλά αυτές δεν αποδεικνύονταν στο πεντασέλιδο κείμενο ούτε προέκυπταν καθαρά από άλλο διαθέσιμο έργο.

Με άλλα λόγια, το κρίσιμο εργαλείο της απόδειξης είχε ουσιαστικά σχεδιαστεί με τις ιδιότητες που χρειάζονταν για να παραχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα. Χωρίς ανεξάρτητη κατασκευή και απόδειξη αυτών των ιδιοτήτων, το βασικό βήμα παρέμενε υπόθεση και όχι θεώρημα.

Η μαθηματική κοινότητα δεν αποδέχθηκε το επιχείρημα. Το κείμενο δεν δημοσιεύθηκε ως έγκυρη απόδειξη σε περιοδικό με κριτές και δεν ενεργοποίησε τη διαδικασία του Clay Mathematics Institute για το βραβείο.

Γιατί ούτε ένα μεγάλο όνομα αρκεί;

Στα μαθηματικά η ορθότητα δεν εξαρτάται από το κύρος του ανθρώπου που διατυπώνει έναν ισχυρισμό. Μια απόδειξη πρέπει να μπορεί να ελεγχθεί βήμα προς βήμα, να στηρίζεται σε σαφείς ορισμούς και να μην κρύβει το ζητούμενο μέσα στις υποθέσεις της.

Αυτό δεν μειώνει το έργο του Atiyah. Οι παλαιότερες συνεισφορές του άλλαξαν τη γεωμετρία, την τοπολογία και τη μαθηματική φυσική. Δείχνει, όμως, πόσο αμείλικτο —και ταυτόχρονα πόσο δίκαιο— είναι το κριτήριο της μαθηματικής απόδειξης.

Η σημερινή κατάσταση: Ο Michael Atiyah πέθανε στις 11 Ιανουαρίου 2019. Η Υπόθεση Riemann εξακολουθεί να καταγράφεται από το Clay Mathematics Institute ως άλυτο Πρόβλημα της Χιλιετίας. Το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων δεν έχει απονεμηθεί.

Έχουν ελεγχθεί υπολογιστικά τεράστιοι αριθμοί μη τετριμμένων μηδενικών πάνω στην κρίσιμη ευθεία. Όμως κανένας πεπερασμένος υπολογισμός, όσο μεγάλος και αν είναι, δεν αποδεικνύει μια πρόταση για όλα τα άπειρα μηδενικά.

---

Πηγές: Clay Mathematics Institute — Riemann Hypothesis · Η διάλεξη του Atiyah στο Heidelberg Laureate Forum · Science — Η αντίδραση στον ισχυρισμό · American Mathematical Society — On Michael Atiyah and the Riemann Hypothesis

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →