Ξεφυλλίζοντας το βιβλίο Mathematical Puzzles of Sam Loyd, σε επιμέλεια του Martin Gardner (Dover, 1959), βρίσκουμε τον γρίφο #36: μια ιστορία για μια δημοπρασία, όπου πωλείται ένα οικόπεδο αποτελούμενο από τρία τετράγωνα κομμάτια γης που περιβάλλουν μια τριγωνική λίμνη. Ο ίδιος ο Sam Loyd διατύπωνε το ερώτημα ως εξής: πόσα στρέμματα έχει η τριγωνική λίμνη, περιτριγυρισμένη —όπως φαίνεται στο σχέδιο— από τετράγωνα οικόπεδα 370, 116 και 74 στρεμμάτων;
Το πρόβλημα, σημείωνε ο ίδιος, έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για όσους έχουν μαθηματική διάθεση, καθώς δίνει μια θετική και ακριβή απάντηση σε ένα ερώτημα που, με τις συνηθισμένες μεθόδους, θα παρήγαγε έναν από εκείνους τους ατέλειωτους, αλλά ποτέ πλήρεις, δεκαδικούς αριθμούς.
👁️ Δείτε τη Λύση
Η κομψή λύση του ίδιου του Loyd
Αν τα τετράγωνα των πλευρών του τριγώνου είναι \(370\), \(116\) και \(74\), οι ίδιες οι πλευρές είναι άρρητοι αριθμοί (\(\sqrt{370}\), \(\sqrt{116}\), \(\sqrt{74}\)). Ο Loyd, όμως, απέφυγε εντελώς αυτή τη δυσκολία με μια εξαιρετικά έξυπνη κατασκευή, χρησιμοποιώντας μόνο ακέραιες συντεταγμένες. Σχηματίζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές \(9=4+5\) και \(17=7+10\), οπότε η υποτείνουσά του έχει τετράγωνο \(9^2+17^2=81+289=370\) — ακριβώς το μεγαλύτερο από τα τρία τετράγωνα του γρίφου. Τοποθετώντας τα υπόλοιπα σημεία σε ακέραιες συντεταγμένες, τα άλλα δύο τετράγωνα προκύπτουν επίσης φυσικά: \(5^2+7^2=74\) και \(4^2+10^2=116\).
Το εμβαδόν της τριγωνικής λίμνης προκύπτει τότε αφαιρώντας από το μεγάλο ορθογώνιο τρίγωνο τα τρία μικρότερα κομμάτια γύρω του — χωρίς καμία τετραγωνική ρίζα να εμφανιστεί πουθενά στον υπολογισμό. Επαληθεύσαμε τον υπολογισμό και με δύο ανεξάρτητες μεθόδους — τον γενικό τύπο εμβαδού από τα τετράγωνα των πλευρών, και τον κλασικό τύπο του Ήρωνα με τις πραγματικές (άρρητες) τιμές των πλευρών. Και οι δύο συμφωνούν απόλυτα:
Παρότι οι τρεις πλευρές του τριγώνου είναι άρρητες, το εμβαδόν του βγαίνει έναν ολόκληρο, καθαρό αριθμό — ακριβώς η έκπληξη που υποσχόταν ο Loyd στους αναγνώστες του.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου