🔺 Η Ανισότητα του Schur — Μια κλασική συμμετρική ανισότητα

🔺 Η Ανισότητα του Schur

Μία από τις κλασικές και ιδιαίτερα χρήσιμες ανισότητες της Ολυμπιακής Άλγεβρας είναι η ανισότητα του Schur.

Αν \(x,y,z\) είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και \(n\) θετικός ακέραιος, τότε

\[ \boxed{ x^n(x-y)(x-z) +y^n(y-z)(y-x) +z^n(z-x)(z-y)\ge0 } \]

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση \(n=1\). Τότε η ανισότητα μπορεί να γραφτεί σε αρκετές ισοδύναμες και χρήσιμες μορφές.

📌 Μορφή 1

\[ \boxed{ x^3+y^3+z^3+3xyz \ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) } \]

📌 Μορφή 2

\[ \boxed{ xyz\ge (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) } \]

Η μορφή αυτή είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα όταν οι ποσότητες

\[ x+y-z,\qquad y+z-x,\qquad z+x-y \]

συνδέονται με τις τριγωνικές ανισότητες.

📌 Μορφή 3

Αν επιπλέον

\[ x+y+z=1, \]

τότε προκύπτει η κομψή ανισότητα

\[ \boxed{ 9xyz+1\ge4(xy+yz+zx) } \]

💡 Γιατί αξίζει να τη θυμόμαστε;

Η ανισότητα του Schur εμφανίζεται συχνά σε προβλήματα με συμμετρικές παραστάσεις και μπορεί να λειτουργήσει ως «γέφυρα» ανάμεσα στις ποσότητες \(x+y+z\), \(xy+yz+zx\) και \(xyz\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →