🔺 Η εικασία του Singmaster: πόσες φορές χωρά ο ίδιος αριθμός στο τρίγωνο του Pascal;
Το τρίγωνο του Pascal γεννιέται από έναν κανόνα που μπορεί να εξηγήσει κανείς σε λίγα δευτερόλεπτα: κάθε γραμμή αρχίζει και τελειώνει με \(1\), ενώ κάθε ενδιάμεσος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς από πάνω του. Έτσι προκύπτουν οι γραμμές
Πίσω από αυτή την απλή πρόσθεση κρύβονται οι διωνυμικοί συντελεστές. Αν αριθμήσουμε την κορυφαία γραμμή με \(n=0\), τότε ο αριθμός στη θέση \(k\) της γραμμής \(n\) είναι
Οι αριθμοί αυτοί μετρούν, για παράδειγμα, με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε \(k\) αντικείμενα από \(n\). Όμως εδώ μας ενδιαφέρει ένα διαφορετικό ερώτημα: πόσες φορές μπορεί να επανεμφανιστεί η ίδια τιμή μέσα σε ολόκληρο το άπειρο τρίγωνο;
Η λεπτή αλλά ουσιαστική διατύπωση
Για έναν ακέραιο \(a>1\), ας συμβολίσουμε με \(N(a)\) το πλήθος των θέσεων \((n,k)\), με \(1\leq k<n\), στις οποίες ισχύει
Κάθε συγκεκριμένος αριθμός \(a>1\) εμφανίζεται ούτως ή άλλως πεπερασμένες φορές. Πράγματι, όταν \(n>a\), ακόμη και ο μικρότερος εσωτερικός αριθμός της γραμμής είναι \(\binom{n}{1}=n>a\). Αυτό λοιπόν δεν είναι το δύσκολο μέρος.
Υπάρχει μία απόλυτη σταθερά \(C\), ανεξάρτητη από το \(a\), τέτοια ώστε
Με άλλα λόγια, δεν αρκεί κάθε αριθμός να σταματά κάποτε να εμφανίζεται. Η εικασία λέει ότι υπάρχει ένα κοινό ανώτατο όριο για όλους τους αριθμούς, όσο μεγάλοι κι αν είναι. Ο Βρετανός μαθηματικός David Singmaster έθεσε το πρόβλημα το 1971· περισσότερο από μισό αιώνα αργότερα, η πλήρης απάντηση παραμένει άγνωστη.
Οι πρώτες επαναλήψεις
Η συμμετρία
εξηγεί γιατί οι περισσότερες εμφανίσεις έρχονται σε ζεύγη. Οι κεντρικοί όροι των άρτιων γραμμών αποτελούν την προφανή εξαίρεση, επειδή συμπίπτουν με το είδωλό τους.
| Αριθμός | Εμφανίσεις | Αιτία |
|---|---|---|
| \(2\) | 1 | Μόνο ως \(\binom{2}{1}\). |
| \(4\) | 2 | \(\binom{4}{1}=\binom{4}{3}\). |
| \(6\) | 3 | \(\binom{4}{2}=\binom{6}{1}=\binom{6}{5}\). |
| Περιττός πρώτος \(p\) | 2 | Μόνο \(\binom{p}{1}\) και \(\binom{p}{p-1}\). |
Επίσης, για κάθε πρώτο \(p>3\), ο αριθμός \(a=\binom{p}{2}\) εμφανίζεται ακριβώς τέσσερις φορές: δύο φορές στη γραμμή \(p\) και δύο στη γραμμή \(a\), στις θέσεις \(1\) και \(a-1\).
Το 120 εμφανίζεται έξι φορές
Η πρώτη πραγματικά εντυπωσιακή σύμπτωση είναι το \(120\). Δεν ανήκει απλώς σε δύο συμμετρικές θέσεις, αλλά προκύπτει με τρεις διαφορετικούς τρόπους:
Ακόμη πιο παράξενο: υπάρχουν άπειροι αριθμοί που εμφανίζονται τουλάχιστον έξι φορές. Ο Singmaster συνέδεσε τέτοιες επαναλήψεις με μια άπειρη οικογένεια λύσεων που περιγράφεται μέσω αριθμών Fibonacci. Άρα, αν το απόλυτο όριο της εικασίας υπάρχει, δεν μπορεί να είναι μικρότερο από \(6\).
Μικρή πρόκληση: βρείτε τις έξι εμφανίσεις του 120 πριν ανοίξετε
Το μοναδικό γνωστό ρεκόρ του 3003
Ο αριθμός \(3003\) είναι μέχρι σήμερα ο πρωταγωνιστής της ιστορίας. Προκύπτει από τέσσερις διαφορετικούς διωνυμικούς συντελεστές στο ένα μισό του τριγώνου:
Καθεμία από αυτές έχει μια συμμετρική θέση:
Έτσι το \(3003\) εμφανίζεται συνολικά οκτώ φορές. Δεν έχει βρεθεί άλλος αριθμός με οκτώ εμφανίσεις ούτε κάποιος με περισσότερες. Αυτό, όμως, είναι το μεγαλύτερο γνωστό παράδειγμα και όχι απόδειξη ότι το \(8\) είναι το τελικό όριο.
Τι γνωρίζουμε και τι όχι
Η καλύτερη γνωστή γενική εκτίμηση απέχει ακόμη από τη σταθερά που προβλέπει η εικασία. Ο Daniel Kane απέδειξε το 2007 ότι
Η ποσότητα αυτή αυξάνεται με το \(a\), έστω πολύ αργά· επομένως δεν δίνει ακόμη ένα ενιαίο σταθερό όριο. Το 2022, οι Kaisa Matomäki, Maksym Radziwiłł, Xuancheng Shao, Terence Tao και Joni Teräväinen απέδειξαν την εικασία σε μια μεγάλη «εσωτερική» περιοχή του τριγώνου. Η δυσκολία επιμένει κυρίως κοντά στις πλευρές, όπου οι διωνυμικοί συντελεστές συνδέονται με δύσκολες διοφαντικές εξισώσεις.
Γι’ αυτό η εικασία του Singmaster είναι τόσο γοητευτική. Δεν ρωτά αν το τρίγωνο του Pascal έχει επαναλήψεις — έχει πολλές. Ρωτά αν, πίσω από όλες αυτές τις συμπτώσεις, υπάρχει ένας παγκόσμιος περιορισμός που κανένας αριθμός δεν μπορεί να ξεπεράσει.
- D. Singmaster, “How Often Does an Integer Occur as a Binomial Coefficient?” (1971)
- D. Singmaster, “Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci Numbers” (1975)
- D. M. Kane, “Improved Bounds on the Number of Ways of Expressing t as a Binomial Coefficient” (2007)
- K. Matomäki et al., “Singmaster’s Conjecture in the Interior of Pascal’s Triangle”
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου