🔺 Steiner–Lehmus και ένα Όμορφο Πρόβλημα με Διχοτόμους

Το θεώρημα Steiner–Lehmus λέει ότι αν δύο εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου έχουν ίσα μήκη, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Ας προσθέσουμε τώρα μία ακόμη συνθήκη: οι δύο ίσες διχοτόμοι είναι επίσης ίσες με μία πλευρά του τριγώνου.

Ποια είναι τότε τα μέτρα των τριών γωνιών του τριγώνου;

🔍 Δείτε τη λύση

Από το θεώρημα Steiner–Lehmus το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Έστω ότι οι δύο ίσες γωνίες του έχουν μέτρο \(\alpha\).

Η κρίσιμη παρατήρηση είναι ότι μία από τις διχοτόμους δημιουργεί ένα μικρότερο τρίγωνο όμοιο με το αρχικό. Έτσι προκύπτει η σχέση

\[ \alpha+\alpha+\frac{\alpha}{2}=\pi. \]

Άρα

\[ \frac{5\alpha}{2}=\pi \]

και επομένως

\[ \alpha=\frac{2\pi}{5}=72^\circ. \]

Η τρίτη γωνία είναι

\[ \beta=\pi-2\alpha =\frac{\pi}{5} =36^\circ. \]

\[ \boxed{72^\circ,\quad72^\circ,\quad36^\circ} \]

Πρόκειται λοιπόν για το χαρακτηριστικό χρυσό τρίγωνο, το ισοσκελές τρίγωνο \(36^\circ\!-\!72^\circ\!-\!72^\circ\), στο οποίο η αυτοομοιότητα συνδέεται με τη χρυσή τομή.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →