🚀 Μετά τις Δυνάμεις Έρχεται η Τετραδική Ύψωση – Tetration

🚀 Νομίζατε ότι οι Δυνάμεις είναι το Τέλος;

Στο σχολείο μαθαίνουμε την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και αργότερα την ύψωση σε δύναμη. Είναι λοιπόν εύκολο να δημιουργηθεί η εντύπωση ότι κάπου εκεί τελειώνει αυτή η ακολουθία πράξεων.

Υπάρχει όμως ένα φυσικό επόμενο βήμα: η τετραδική ύψωση (tetration).

🔢 Ας παρατηρήσουμε το μοτίβο

Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να θεωρηθεί επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Για παράδειγμα,

\[ 3+3+3+3=4\cdot3=12. \]

Με παρόμοιο τρόπο, η ύψωση σε δύναμη μπορεί να θεωρηθεί επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός:

\[ 3\cdot3\cdot3\cdot3=3^4=81. \]

Τι θα συμβεί λοιπόν αν επαναλάβουμε όχι τον πολλαπλασιασμό αλλά την ίδια την ύψωση σε δύναμη;

Φτάνουμε στην τετραδική ύψωση.

\[ \text{Πρόσθεση} \longrightarrow \text{Πολλαπλασιασμός} \longrightarrow \text{Ύψωση σε δύναμη} \longrightarrow \text{Τετραδική ύψωση} \]

\[ \text{επανάληψη} \quad\longrightarrow\quad \text{επανάληψη} \quad\longrightarrow\quad \text{επανάληψη} \]

🗼 Οι πύργοι δυνάμεων

Στην τετραδική ύψωση δημιουργούμε έναν πύργο δυνάμεων. Για παράδειγμα,

\[ {}^{4}2 = 2^{\,2^{\,2^2}}. \]

Προσοχή: οι δυνάμεις υπολογίζονται από πάνω προς τα κάτω. Επομένως

\[ 2^{\,2^{\,2^2}} = 2^{\,2^4} = 2^{16} = 65\,536. \]

Δηλαδή, με βάση μόλις το \(2\) και ύψος πύργου \(4\), έχουμε ήδη φτάσει στο

\[ \boxed{65\,536}. \]

Και αν προσθέσουμε μόνο ένα ακόμη \(2\);

\[ {}^{5}2 = 2^{\,2^{\,2^{\,2^2}}} = 2^{65\,536}. \]

Αυτός ο αριθμός έχει σχεδόν 20.000 δεκαδικά ψηφία. Ένα μόνο επιπλέον επίπεδο στον πύργο προκαλεί μια τεράστια έκρηξη μεγέθους.

💡 Η βασική ιδέα

\[ \begin{aligned} \text{Πολλαπλασιασμός}&=\text{επαναλαμβανόμενη πρόσθεση},\\[4pt] \text{Ύψωση σε δύναμη}&=\text{επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός},\\[4pt] \text{Τετραδική ύψωση}&=\text{επαναλαμβανόμενη ύψωση σε δύναμη}. \end{aligned} \]

♾️ Και μετά την τετραδική ύψωση;

Ούτε εκεί τελειώνει η ιστορία. Η ίδια ιδέα μπορεί να συνεχιστεί δημιουργώντας μια ολόκληρη ιεραρχία υπερπράξεων (hyperoperations).

\[ \text{πρόσθεση} \rightarrow \text{πολλαπλασιασμός} \rightarrow \text{ύψωση σε δύναμη} \rightarrow \text{τετραδική ύψωση} \rightarrow \text{πενταδική ύψωση} \rightarrow\cdots \]

Οι δυνάμεις λοιπόν δεν είναι το τέλος.
Είναι απλώς ένα από τα πρώτα σκαλοπάτια μιας πολύ μεγαλύτερης σκάλας.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →