🏅 10 Ανισότητες για Μαθηματικές Ολυμπιάδες — Μπορείτε να τις αποδείξετε;

Δέκα προβλήματα ανισοτήτων για εξάσκηση, με θετικούς πραγματικούς αριθμούς. Σε αρκετά από αυτά η κατάλληλη επιλογή ανάμεσα σε AM-GM, Cauchy–Schwarz, συμμετρία, ομογενοποίηση ή μια έξυπνη αντικατάσταση κάνει όλη τη διαφορά.

Οι ανισότητες δίνονται χωρίς λύσεις.

1. Έστω \(a,b,c,d>0\) και \[ a+b+c+d=1. \] Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ 16(abc+bcd+cda+dab)\le1 }. \]

2. Έστω \(a,b,c,d,e>0\) και \[ a+b+c+d+e=5. \] Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ abc+bcd+cde+dea+eab\le5 }. \]

3. Έστω \(a,b,c>0\). Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} +1 }. \]

4. Έστω \(a,b,c>0\) και \[ abc=1. \] Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ \left(1+\frac{a}{b}\right) \left(1+\frac{b}{c}\right) \left(1+\frac{c}{a}\right) \ge 2(1+a+b+c) }. \]

5. Έστω \(a,b,c>0\) τέτοιοι ώστε \[ a+b+c \ge \frac1a+\frac1b+\frac1c. \] Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ a+b+c \ge \frac{3}{a+b+c} + \frac{2}{abc} }. \]

6. Έστω \(a,b,c,d>0\) και \[ abcd=1. \] Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ \frac{1+ab}{1+a} + \frac{1+bc}{1+b} + \frac{1+cd}{1+c} + \frac{1+da}{1+d} \ge4 }. \]

7. Έστω \(a,b,c>0\). Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ \frac{1}{b(a+b)} + \frac{1}{c(b+c)} + \frac{1}{a(c+a)} \ge \frac{27}{2(a+b+c)^2} }. \]

8. Έστω \(a,b,c>0\) και \[ a+b+c=3. \] Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ \frac{a^2}{b^2-2b+3} + \frac{b^2}{c^2-2c+3} + \frac{c^2}{a^2-2a+3} \ge \frac32 }. \]

9. Έστω \(a,b,c>0\) και \[ ab+bc+ca=3. \] Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ \frac{1}{1+a^2(b+c)} + \frac{1}{1+b^2(c+a)} + \frac{1}{1+c^2(a+b)} \le \frac{1}{abc} }. \]

10. Έστω \(a,b,c>0\) και \[ a+b+c=1. \] Να αποδείξετε ότι \[ \boxed{ a\sqrt[3]{1+b-c} + b\sqrt[3]{1+c-a} + c\sqrt[3]{1+a-b} \le1 }. \]

💡 Πριν ξεκινήσετε

Μην εφαρμόζετε μηχανικά μια γνωστή ανισότητα. Εξετάστε πρώτα τη συνθήκη κάθε προβλήματος: σταθερό άθροισμα, σταθερό γινόμενο ή συμμετρική σχέση συχνά υποδεικνύουν ποια μετατροπή πρέπει να προηγηθεί.

🏅 Πόσες από τις 10 μπορείτε να αποδείξετε;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →