🔴🔵 Πόσοι διαφορετικοί χρωματισμοί υπάρχουν σε ένα κολιέ με 11 χάντρες;

Έχουμε ένα κυκλικό κολιέ με 11 χάντρες και κάθε χάντρα μπορεί να είναι είτε κόκκινη είτε μπλε.

Πόσοι διαφορετικοί χρωματισμοί υπάρχουν;

Η απάντηση μπορεί να είναι \[ \boxed{2048},\qquad \boxed{188} \qquad\text{ή ακόμη και}\qquad \boxed{126}. \]

Και οι τρεις απαντήσεις είναι σωστές!

Το κλειδί βρίσκεται στο τι εννοούμε όταν λέμε ότι δύο χρωματισμοί είναι διαφορετικοί.

Αν θεωρούμε διαφορετικές ακόμη και τις περιστροφές του ίδιου κολιέ, τότε κάθε μία από τις 11 χάντρες έχει δύο επιλογές και επομένως

\[ 2^{11}=2048. \]

Αν όμως δύο χρωματισμοί που προκύπτουν ο ένας από τον άλλο με περιστροφή θεωρούνται ίδιοι, τότε ο αριθμός μειώνεται σε

\[ \boxed{188}. \]

Και αν θεωρούμε ίδιους και τους χρωματισμούς που συνδέονται με περιστροφή ή ανάκλαση, τότε απομένουν μόλις

\[ \boxed{126}. \]

🧠 Γιατί δεν αρκεί απλώς να διαιρέσουμε;

Επειδή ορισμένοι χρωματισμοί έχουν περισσότερες συμμετρίες από άλλους. Το εργαλείο που μας επιτρέπει να μετρήσουμε σωστά τις πραγματικά διαφορετικές διατάξεις είναι το Λήμμα του Burnside.

Για τις περιστροφές έχουμε 11 συμμετρίες: την ταυτοτική και 10 μη τετριμμένες περιστροφές. Επειδή το \(11\) είναι πρώτος αριθμός, κάθε μη τετριμμένη περιστροφή αφήνει αμετάβλητους μόνο τους δύο μονόχρωμους χρωματισμούς. Έτσι

\[ \frac{2^{11}+10\cdot2}{11} = \frac{2068}{11} = 188. \]

Αν προσθέσουμε και τις 11 ανακλάσεις του κολιέ, καθεμία από αυτές αφήνει αμετάβλητους \(2^6=64\) χρωματισμούς. Άρα

\[ \frac{2048+10\cdot2+11\cdot64}{22} = \boxed{126}. \]

Ένα όμορφο παράδειγμα του πόσο σημαντικό είναι στα μαθηματικά να καθορίζουμε πρώτα τι ακριβώς θεωρούμε ισοδύναμο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →