😄 Όταν ένας μαθηματικός αποφασίζει να μην κάνει τίποτα απλά!: Η πιο περίπλοκη απόδειξη ότι 1+1=2

Όλοι γνωρίζουμε ότι

\[ 1+1=2. \]

Αλλά γιατί να φτάσουμε στο \(2\) αμέσως, όταν μπορούμε να κάνουμε μια μικρή… μαθηματική περιήγηση;

Ξεκινάμε από το γεγονός ότι

\[ 0!=1 \]

και από την περίφημη ταυτότητα του Euler

\[ e^{i\pi}=-1. \]

Επομένως,

\[ 1+1=0!+1=0!-e^{i\pi}. \]

Τώρα χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση Γάμμα, αφού

\[ 0!=\Gamma(1). \]

Άρα

\[ 1+1=\Gamma(1)-e^{i\pi}. \]

Από τον ολοκληρωτικό ορισμό της συνάρτησης Γάμμα,

\[ \Gamma(1) = \int_0^\infty x^0e^{-x}\,dx = \int_0^\infty e^{-x}\,dx. \]

Και έτσι συνεχίζουμε:

\[ 1+1 = \lim_{b\to\infty} \left( \int_0^b e^{-x}\,dx-e^{i\pi} \right) \] \[ = \lim_{b\to\infty} \left( [-e^{-x}]_0^b-e^{i\pi} \right) \] \[ = \lim_{b\to\infty} \left( 1-e^{-b}-e^{i\pi} \right). \]

Επειδή

\[ \lim_{b\to\infty}e^{-b}=0 \]

και

\[ e^{i\pi}=-1, \]

καταλήγουμε θριαμβευτικά:

\[ 1+1=1-0-(-1)=2. \]

🎯 Συμπέρασμα:
Γιατί να κάνεις μία πράξη σε ένα δευτερόλεπτο, όταν μπορείς να χρησιμοποιήσεις παραγοντικά, μιγαδικούς αριθμούς, τη συνάρτηση Γάμμα, ακατάλληλα ολοκληρώματα και όρια;

Όταν ένας μαθηματικός αρνείται να πάρει συντομεύσεις… 😄

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →