🔢 142857 — Ο παράξενος αριθμός που ανακυκλώνει τα ψηφία του

Υπάρχουν αριθμοί που κρύβουν εντυπωσιακά μοτίβα. Ένας από τους πιο διάσημους είναι ο

\[ \boxed{142857}. \]

Ας τον πολλαπλασιάσουμε διαδοχικά με τους αριθμούς από το \(1\) έως το \(6\):

\[ 142857\times1=142857 \] \[ 142857\times2=285714 \] \[ 142857\times3=428571 \] \[ 142857\times4=571428 \] \[ 142857\times5=714285 \] \[ 142857\times6=857142 \]

Παρατηρήστε προσεκτικά τα αποτελέσματα.

Δεν εμφανίζεται κανένα νέο ψηφίο και κανένα δεν χάνεται. Τα ψηφία

\[ 1,\;4,\;2,\;8,\;5,\;7 \]

απλώς μετακινούνται κυκλικά.

Γι' αυτό ο \(142857\) αποτελεί το κλασικότερο παράδειγμα ενός κυκλικού αριθμού.

🧐 Από πού προέρχεται;

Το πραγματικό μυστικό του \(142857\) αποκαλύπτεται όταν υπολογίσουμε το δεκαδικό ανάπτυγμα του

\[ \frac17. \]

Παίρνουμε

\[ \frac17 = 0.\overline{142857}. \]

Δηλαδή,

\[ \frac17 = 0.142857142857142857\ldots \]

Η περίοδος έχει ακριβώς έξι ψηφία:

\[ \boxed{142857}. \]

Τώρα κοιτάξτε τι συμβαίνει με τα υπόλοιπα κλάσματα με παρονομαστή \(7\):

\[ \frac27=0.\overline{285714}, \] \[ \frac37=0.\overline{428571}, \] \[ \frac47=0.\overline{571428}, \] \[ \frac57=0.\overline{714285}, \] \[ \frac67=0.\overline{857142}. \]

Οι έξι κυκλικές μεταθέσεις που είδαμε στους πολλαπλασιασμούς εμφανίζονται ξανά!

✨ Και υπάρχει ακόμη μία έκπληξη

Τι θα συμβεί αν πολλαπλασιάσουμε τον \(142857\) με το \(7\); \[ 142857\times7=\boxed{999999}. \]

Και αυτό δεν είναι σύμπτωση. Από

\[ \frac17=0.\overline{142857} \]

προκύπτει η σχέση

\[ 7\cdot142857=10^6-1=999999. \]

🧩 Πρόκληση

Ο \(142857\) δεν είναι ο μοναδικός κυκλικός αριθμός.

Μπορείτε να ανακαλύψετε έναν άλλο;

Υπόδειξη: Αναζητήστε πρώτους αριθμούς των οποίων το \(1/p\) έχει περίοδο μήκους \(p-1\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →