🚕 1729 — Ο διάσημος αριθμός του Ramanujan μέσα στο ίδιο του το χειρόγραφο

Ο αριθμός

\[ 1729 \]

είναι ίσως ο διασημότερος αριθμός που συνδέεται με το όνομα του Srinivasa Ramanujan.

Και η χειρόγραφη σελίδα της εικόνας κρύβει μια ιδιαίτερα όμορφη λεπτομέρεια. Στο κάτω δεξί μέρος ο Ramanujan έχει γράψει:

\[ 9^3+10^3=12^3+1. \]

Αλλά

\[ 9^3+10^3=729+1000=1729 \]

και επίσης

\[ 12^3+1=12^3+1^3=1728+1=1729. \]

Άρα στην ίδια γραμμή βρίσκεται ουσιαστικά η περίφημη ταυτότητα

\[ \boxed{1729=1^3+12^3=9^3+10^3}. \]

🚕 Η διάσημη ιστορία με το ταξί

Η γνωστότερη ιστορία για τον αριθμό προέρχεται από τον G. H. Hardy. Όταν επισκέφθηκε τον άρρωστο Ramanujan στο Putney, ανέφερε ότι είχε φτάσει με ταξί που έφερε τον αριθμό 1729 και σχολίασε ότι του φαινόταν μάλλον αδιάφορος αριθμός.

Ο Ramanujan απάντησε αμέσως ότι κάθε άλλο παρά αδιάφορος ήταν: πρόκειται για τον μικρότερο θετικό ακέραιο που μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο θετικών κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους.

\[ 1729=1^3+12^3=9^3+10^3. \]

Δεν ήταν λοιπόν ένας αριθμός που ο Ramanujan «ανακάλυψε» εκείνη τη στιγμή στο ταξί. Τον είχε ήδη μελετήσει.

📜 Πολύ περισσότερο από ένα αριθμητικό ανέκδοτο

Η χειρόγραφη σελίδα δεν είναι αφιερωμένη αποκλειστικά στο \(1729\). Περιέχει γενικότερες σχέσεις ανάμεσα σε ακολουθίες αριθμών και αθροίσματα κύβων, μαζί με αρκετά αριθμητικά παραδείγματα.

Μεταξύ αυτών εμφανίζονται σχέσεις της μορφής

\[ a_n^3+b_n^3=c_n^3+(-1)^n, \]

καθώς και συγκεκριμένα παραδείγματα πολύ μεγαλύτερων αριθμών.

Αυτό είναι ίσως ακόμη πιο ενδιαφέρον από το ίδιο το ανέκδοτο: ο \(1729\) δεν ήταν για τον Ramanujan μια μεμονωμένη αριθμητική περιέργεια. Βρισκόταν μέσα σε μια ευρύτερη εξερεύνηση διοφαντικών σχέσεων ανάμεσα σε κύβους.

🔎 Μια ιστορική λεπτομέρεια

Ο Ramanujan είχε καταγράψει τις δύο αναπαραστάσεις του \(1729\) ήδη στα notebooks του, πριν από τη διάσημη επίσκεψη του Hardy. Έτσι, η γρήγορη απάντησή του στο περιστατικό με το ταξί γίνεται λιγότερο μυστηριώδης — αλλά όχι λιγότερο εντυπωσιακή.

Γιατί λέγεται Taxicab Number;

Η ιστορία Hardy–Ramanujan έδωσε αργότερα το όνομα στους Taxicab numbers.

Το \(Taxicab(n)\) είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος που μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο θετικών κύβων με \(n\) διαφορετικούς τρόπους.

Έτσι:

\[ Taxicab(2)=1729. \]

Και έχουμε:

\[ \boxed{1729=1^3+12^3=9^3+10^3}. \]

Ένας αριθμός έγινε διάσημος από μια διαδρομή με ταξί.
Το χειρόγραφο όμως μας θυμίζει ότι πίσω από το ανέκδοτο υπήρχαν ήδη χρόνια μαθηματικής σκέψης.

Πηγές: Ramanujan's notebooks / lost notebook · G. H. Hardy, writings on Srinivasa Ramanujan · Bruce C. Berndt, Ramanujan — For Lowbrows.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →