🔶 Το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου πλευράς 1 — Ένας εντυπωσιακός τύπος

Ένα κανονικό πεντάγωνο με πλευρά \(1\) έχει εμβαδόν

\[ \boxed{ A=\frac{5}{4\sqrt{\,5-2\sqrt5\,}} } \]

Ένας τύπος που φαίνεται αρκετά περίπλοκος για ένα τόσο απλό σχήμα. Από πού προκύπτει;

Χωρίζοντας το κανονικό πεντάγωνο σε \(5\) ίσα ισοσκελή τρίγωνα με κοινή κορυφή το κέντρο του, καθένα έχει κεντρική γωνία

\[ \frac{360^\circ}{5}=72^\circ. \]

Αν \(r\) είναι το απόστημα του πενταγώνου, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται έχουμε

\[ \tan36^\circ=\frac{1/2}{r}, \]

οπότε

\[ r=\frac{1}{2\tan36^\circ}. \]

Το εμβαδόν είναι το μισό του γινομένου της περιμέτρου επί το απόστημα:

\[ A=\frac12\cdot5\cdot r =\frac{5}{4\tan36^\circ}. \]

Χρησιμοποιώντας την ακριβή τριγωνομετρική τιμή

\[ \tan36^\circ=\sqrt{5-2\sqrt5}, \]

καταλήγουμε στο

\[ \boxed{ A=\frac{5}{4\sqrt{\,5-2\sqrt5\,}} }. \]

✨ Μια ακόμη μορφή: Ο ίδιος αριθμός γράφεται και ως \[ \boxed{A=\frac14\sqrt{25+10\sqrt5}}. \] Το \(\sqrt5\) δεν εμφανίζεται τυχαία: η γεωμετρία του κανονικού πενταγώνου συνδέεται στενά με τη χρυσή τομή.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →