Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς \(1\) και το γεμίζουμε διαδοχικά με εφαπτόμενους κύκλους, όπως στο σχήμα. Έστω \(r(k)\) η ακτίνα του \(k\)-οστού κύκλου.
Καθώς προσθέτουμε ολοένα και περισσότερους κύκλους, τα κενά γίνονται μικρότερα και η συνολική επιφάνειά τους προσεγγίζει το εμβαδόν του μοναδιαίου τετραγώνου.
\[ 1=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}\pi r^2(k). \]
Διαιρώντας με \(\pi\), παίρνουμε την όμορφη σχέση
\[ \boxed{\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}r^2(k)=\frac1\pi} \]
Έτσι, τα μερικά αθροίσματα
\[ r^2(1)+r^2(2)+\cdots+r^2(n) \]
δίνουν ολοένα καλύτερες προσεγγίσεις του
\[ \frac1\pi\approx0.318309886\ldots \]
⚠️ Η κρίσιμη προϋπόθεση:
Το συμπέρασμα ισχύει εφόσον η συγκεκριμένη άπειρη διαδικασία γεμίζει το τετράγωνο εκτός από ένα σύνολο μηδενικού εμβαδού. Δεν αρκεί από μόνο του το γεγονός ότι σχεδιάζουμε συνεχώς περισσότερους κύκλους.
Το συμπέρασμα ισχύει εφόσον η συγκεκριμένη άπειρη διαδικασία γεμίζει το τετράγωνο εκτός από ένα σύνολο μηδενικού εμβαδού. Δεν αρκεί από μόνο του το γεγονός ότι σχεδιάζουμε συνεχώς περισσότερους κύκλους.
Μια γεωμετρική προσέγγιση του \(1/\pi\) μέσα από εμβαδά.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου