Έστω \(f,\varphi,g,h\) παραγωγίσιμες συναρτήσεις και
\[
F(x)=
\begin{vmatrix}
f(x) & \varphi(x)\\
g(x) & h(x)
\end{vmatrix}.
\]
Να αποδειχθεί ότι
\[
\boxed{
F'(x)=
\begin{vmatrix}
f'(x) & \varphi'(x)\\
g(x) & h(x)
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
f(x) & \varphi(x)\\
g'(x) & h'(x)
\end{vmatrix}}
\]
✅ Απόδειξη
Από τον ορισμό της ορίζουσας,
\[
F(x)=f(x)h(x)-\varphi(x)g(x).
\]
Παραγωγίζοντας,
\[
F'(x)
=
f'(x)h(x)+f(x)h'(x)
-\varphi'(x)g(x)-\varphi(x)g'(x).
\]
Ομαδοποιούμε τους όρους:
\[
F'(x)
=
\bigl[f'(x)h(x)-\varphi'(x)g(x)\bigr]
+
\bigl[f(x)h'(x)-\varphi(x)g'(x)\bigr].
\]
Κάθε αγκύλη είναι μια ορίζουσα. Άρα
\[
\boxed{
F'(x)=
\begin{vmatrix}
f'(x) & \varphi'(x)\\
g(x) & h(x)
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
f(x) & \varphi(x)\\
g'(x) & h'(x)
\end{vmatrix}}
\]
💡 Η ιδέα
Για να παραγωγίσουμε μια ορίζουσα \(2\times2\), παραγωγίζουμε πρώτα την πρώτη γραμμή κρατώντας τη δεύτερη σταθερή και έπειτα τη δεύτερη γραμμή κρατώντας την πρώτη σταθερή — και προσθέτουμε τα δύο αποτελέσματα.
Ένας κανόνας που θυμίζει έντονα τον κανόνα παραγώγισης γινομένου.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου