🎂 Το παράδοξο των γενεθλίων — Γιατί αρκούν μόλις 23 άτομα αρκούν για πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% ;

Βάλτε 23 άτομα σε ένα δωμάτιο.

Πόσο πιθανό είναι τουλάχιστον δύο από αυτά να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα;

Η απάντηση είναι εντυπωσιακή:

\[ \boxed{P\approx 0{,}5073} \]

δηλαδή περίπου 50,7%.

🤔 Γιατί τόσο μεγάλη πιθανότητα;

Το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως παράδοξο των γενεθλίων. Δεν πρόκειται για πραγματικό λογικό παράδοξο· απλώς το αποτέλεσμα έρχεται σε αντίθεση με τη διαίσθησή μας.

Το κλειδί είναι ότι δεν συγκρίνουμε τα γενέθλια ενός συγκεκριμένου ανθρώπου με των υπολοίπων. Εξετάζουμε όλα τα δυνατά ζευγάρια μέσα στην ομάδα.

Με 23 άτομα υπάρχουν

\[ \binom{23}{2}=253 \]

διαφορετικά ζευγάρια.

🧮 Ο υπολογισμός

Είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε πρώτα την πιθανότητα να έχουν όλοι διαφορετικά γενέθλια.

Αγνοώντας τα δίσεκτα έτη και θεωρώντας ότι κάθε ημέρα είναι εξίσου πιθανή, έχουμε

\[ P(\text{όλα διαφορετικά}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{343}{365}. \]

Άρα

\[ P(\text{τουλάχιστον ένα κοινό ζευγάρι}) = 1- \frac{365\cdot364\cdot363\cdots343}{365^{23}}. \]

Και αριθμητικά:

\[ \boxed{ P(\text{τουλάχιστον δύο με ίδια γενέθλια}) \approx0{,}5073 } \]

ή περίπου

\[ \boxed{50{,}73\%}. \]

🎯 Το εντυπωσιακό σημείο

Δεν χρειάζονται 183 άτομα για να ξεπεράσουμε το 50%. Με μόλις 23 ανθρώπους, τα 253 διαφορετικά ζευγάρια είναι αρκετά ώστε η πιθανότητα τουλάχιστον μίας σύμπτωσης γενεθλίων να γίνει μεγαλύτερη από \(1/2\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →