🔢 Βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις: 2ˣ·3ˣ²=6

Να βρεθούν όλες οι πραγματικές τιμές του \(x\) που ικανοποιούν την εκθετική εξίσωση

\[ \boxed{2^x\cdot3^{x^2}=6}, \qquad x\in\mathbb{R}. \]

❓ Πρόκληση

Μπορείτε να βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις;

Προσοχή: μία λύση φαίνεται σχεδόν αμέσως, αλλά το ερώτημα ζητά όλες τις λύσεις.

Η παρουσία του \(x\) στον εκθέτη του \(2\) και του \(x^2\) στον εκθέτη του \(3\) κάνει την εξίσωση να φαίνεται ασυνήθιστη.

Ωστόσο, μια κλασική μετατροπή μπορεί να μεταφέρει τους εκθέτες εκεί όπου είναι πολύ πιο εύκολο να τους χειριστούμε.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Πάρτε λογάριθμο και στα δύο μέλη:

\[ \ln\!\left(2^x3^{x^2}\right)=\ln6. \]

Χρησιμοποιήστε τώρα τις σχέσεις

\[ \ln(a^r)=r\ln a \]

και

\[ \ln6=\ln2+\ln3. \]

Θα προκύψει μια συνηθισμένη εξίσωση δευτέρου βαθμού ως προς \(x\).

Αφού γνωρίζετε ήδη εύκολα τη μία ρίζα της, μπορείτε να βρείτε τη δεύτερη χωρίς καν να χρησιμοποιήσετε τον τύπο της διακρίνουσας.

🧠 Το κλειδί

Μια εκθετική εξίσωση μπορεί, με τη βοήθεια των λογαρίθμων, να μετατραπεί σε κάτι πολύ πιο οικείο: \[ \text{εκθετική εξίσωση} \quad\longrightarrow\quad \text{εξίσωση 2ου βαθμού}. \]

Βρήκατε και τη δεύτερη πραγματική λύση;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →