🔢 Υπάρχει άλλη δύναμη του 2 χωρίς κανένα μηδενικό ψηφίο;

Υπάρχουν δυνάμεις του \(2\) των οποίων η δεκαδική γραφή δεν περιέχει καθόλου το ψηφίο \(0\).

Η τελευταία γνωστή είναι

\[ 2^{86} = 77\,371\,252\,455\,336\,267\,181\,195\,264. \]

Πράγματι, σε αυτόν τον τεράστιο αριθμό δεν εμφανίζεται ούτε ένα μηδενικό.

Οι Michael Beeler και William Gosper είχαν υπολογιστικά ελέγξει ότι κάθε δύναμη

\[ 2^n,\qquad 87\le n\le 30\,739\,014, \]

περιέχει τουλάχιστον ένα ψηφίο \(0\). Το αποτέλεσμα καταγράφηκε στο περίφημο HAKMEM. :chatgpt-content-reference{index="1"}

Αργότερα οι υπολογιστικοί έλεγχοι προχώρησαν πολύ περισσότερο: η OEIS αναφέρει ότι το ίδιο έχει επαληθευτεί μέχρι

\[ n=10^{10}. \]

Κι όμως, ακόμη δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει κάποια μεγαλύτερη δύναμη του \(2\) χωρίς κανένα μηδενικό. :chatgpt-content-reference{index="2"}

🎯 Είναι άραγε το \(2^{86}\) η τελευταία δύναμη του \(2\) που δεν περιέχει το ψηφίο \(0\);

Μέχρι σήμερα, η απάντηση είναι: δεν ξέρουμε.

Όλα τα υπολογιστικά δεδομένα δείχνουν προς το «ναι», αλλά δεν υπάρχει ακόμη γενική απόδειξη. :chatgpt-content-reference{index="3"}

Μια ακόμη όμορφη λεπτομέρεια

Παρόλο που ίσως κάθε αρκετά μεγάλη δύναμη του \(2\) περιέχει κάπου ένα μηδενικό, μπορεί να έχει αυθαίρετα μεγάλη τελική ακολουθία ψηφίων χωρίς μηδενικά. Αυτό είχε παρατηρηθεί ήδη από τον Richard Schroeppel. :chatgpt-content-reference{index="4"}

Ένα απλό ερώτημα για τα ψηφία των δυνάμεων του \(2\) παραμένει ανοιχτό.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →