Έχουμε ένα τετραγωνικό πλέγμα \(3\times3\), αποτελούμενο από \(9\) μικρά τετράγωνα.
Ο διακεκομμένος κατακόρυφος άξονας περνά από το μέσο της κεντρικής στήλης.
💡 Εμφάνιση υπόδειξης
Παρατήρησε ότι τα \(9\) τετράγωνα χωρίζονται σε δύο διαφορετικές κατηγορίες.
Τα 3 τετράγωνα της μεσαίας στήλης βρίσκονται πάνω στον άξονα και, επομένως, το καθένα απεικονίζεται στον εαυτό του με την ανάκλαση.
Αντίθετα, τα υπόλοιπα \(6\) τετράγωνα σχηματίζουν 3 συμμετρικά ζεύγη:
\[ \boxed{\text{αριστερό τετράγωνο}\longleftrightarrow \text{δεξί τετράγωνο}} \]
Άρα, αν επιλέξεις ένα τετράγωνο εκτός του άξονα, πρέπει υποχρεωτικά να επιλέξεις και το συμμετρικό του.
Τώρα αναζήτησε τους δυνατούς τρόπους με τους οποίους ο αριθμός \(3\) μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας:
\[ \text{μονά τετράγωνα πάνω στον άξονα} \quad\text{και}\quad \text{ζεύγη συμμετρικών τετραγώνων}. \]
Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τύποι συμμετρικής επιλογής. Μέτρησέ τους χωριστά και στο τέλος πρόσθεσέ τους.
1 σχόλιο:
Μπορούμε να επιλέξουμε τα τρία τετράγωνα με 10 διαφορετικούς τρόπους, ώστε η επιλογή να είναι συμμετρική ως προς τον διακεκομμένο άξονα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑνάλυση της Συμμετρίας:
Ο άξονας χωρίζει το πλέγμα κατακόρυφα στη μέση. Για να υπάρχει συμμετρία:
Τα τετράγωνα της κεντρικής στήλης είναι αυτόματα συμμετρικά με τον εαυτό τους.
Τα τετράγωνα της αριστερής και δεξιάς στήλης πρέπει να επιλέγονται σε συμμετρικά ζεύγη (ίδια σειρά, αριστερά και δεξιά).
Εφόσον ο συνολικός αριθμός των τετραγώνων που πρέπει να επιλέξουμε είναι περιττός (3 τετράγωνα), ο αριθμός των τετραγώνων που θα πάρουμε από την κεντρική στήλη πρέπει επίσης να είναι περιττός (δηλαδή 1 ή 3).
Περιπτώσεις Επιλογής:
3 τετράγωνα από την κεντρική στήλη:
Επιλέγουμε και τα 3 τετράγωνα της μεσαίας στήλης.
Σύνολο: 1 τρόπος
1 τετράγωνο από την κεντρική στήλη και 2 από τις πλευρικές:
Κεντρική στήλη: Επιλέγουμε 1 από τα 3 διαθέσιμα τετράγωνα (3 τρόποι).
Πλευρικές στήλες: Επιλέγουμε 1 συμμετρικό ζεύγος από τις 3 διαθέσιμες
σειρές (3 τρόποι).
Σύνολο: 3*3=9 τρόποι
Συνολικοί τρόποι: 1+9=10 τρόποι.