📐 Ποιο είναι το μεγαλύτερο ορθογώνιο που χωρά σε ένα τρίγωνο 3–4–5;

Έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές

\[ 3,\qquad 4,\qquad 5. \]

Μέσα στο τρίγωνο εγγράφουμε ένα ορθογώνιο όπως στο σχήμα: δύο πλευρές του βρίσκονται πάνω στις κάθετες πλευρές του τριγώνου, ενώ η απέναντι κορυφή του βρίσκεται πάνω στην υποτείνουσα.

❓ Πρόκληση

Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν του ορθογωνίου;

Το ορθογώνιο μπορεί να αλλάζει διαστάσεις: αν μεγαλώσουμε τη βάση του, το ύψος του αναγκαστικά μικραίνει — και αντίστροφα.

Υπάρχει λοιπόν μία συγκεκριμένη θέση στην οποία το γινόμενο

\[ \text{βάση}\times\text{ύψος} \]

γίνεται όσο το δυνατόν μεγαλύτερο.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αν \(x\) είναι η βάση και \(y\) το ύψος του ορθογωνίου, τότε η επάνω αριστερή κορυφή του βρίσκεται πάνω στην υποτείνουσα.

Από ομοιότητα τριγώνων — ή από την εξίσωση της ευθείας της υποτείνουσας — μπορείτε να βρείτε μια γραμμική σχέση μεταξύ \(x\) και \(y\).

Στη συνέχεια γράψτε το εμβαδόν ως συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής:

\[ E(x)=x\,y. \]

Θα προκύψει μια παραβολή. Το ζητούμενο είναι η μέγιστη τιμή της.

🧠 Μπορεί να λυθεί και χωρίς Παραγώγους!

Η σχέση μεταξύ βάσης και ύψους είναι γραμμική, επομένως το εμβαδόν γίνεται ένα απλό τετραγωνικό τριώνυμο.

Με κατάλληλη παραγοντοποίηση ή συμπλήρωση τετραγώνου μπορούμε να βρούμε το μέγιστο καθαρά αλγεβρικά.

Ποιες διαστάσεις πρέπει να έχει το ορθογώνιο για να αποκτήσει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →