π = 4Σ arctan(1/2n²) — Μπορείτε να αποδείξετε αυτή την όμορφη ταυτότητα;

Μια εντυπωσιακή άπειρη σειρά συνδέει το \(\pi\) με την αντίστροφη εφαπτομένη:

\[ \boxed{\displaystyle \pi=4\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{2n^2}\right)} \]

Μπορείτε να την αποδείξετε;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αναζητήστε τρόπο να γράψετε κάθε όρο ως διαφορά δύο διαδοχικών γωνιών.

\[ \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{2n^2}\right) = \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{2n-1}\right) - \tan^{-1}\!\left(\frac{1}{2n+1}\right). \]

Στη συνέχεια παρατηρήστε τι συμβαίνει όταν προσθέσετε τους όρους της σειράς. ✨

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →