Στα συστήματα εξισώσεων πολλές φορές η πιο αποτελεσματική στρατηγική δεν είναι η άμεση επίλυση, αλλά η κατάλληλη μετατροπή και απλοποίησή τους. Στόχος είναι να οδηγηθούμε σε ένα ισοδύναμο σύστημα του οποίου οι λύσεις βρίσκονται ευκολότερα.
Ιδιαίτερα σε συμμετρικές παραστάσεις τρίτου βαθμού μπορούν να φανούν χρήσιμες οι σχέσεις του Vieta. Για μια κυβική εξίσωση
\[
x^3+px^2+qx+r=0
\]
με ρίζες \(x_1,x_2,x_3\), ισχύουν
\[
x_1+x_2+x_3=-p,
\]
\[
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=q,
\]
\[
x_1x_2x_3=-r.
\]
Ακολουθούν έξι συστήματα χωρίς λύσεις, για καθαρή εξάσκηση.
1. Να βρεθούν όλες οι πραγματικές λύσεις:
\[
\begin{cases}
x^3+y^3=1,\\[4pt]
x^2y-2xy^2+y^3=2.
\end{cases}
\]
2. Να λυθεί το σύστημα:
\[
\begin{cases}
x^2+xy+y^2=4,\\[4pt]
x+xy+y=2.
\end{cases}
\]
3. Να βρεθούν οι πραγματικές λύσεις:
\[
\begin{cases}
x^3+y^3=5a^3,\\[4pt]
x^2y+xy^2=a^3,
\end{cases}
\]
όπου \(a\in\mathbb{R}\) και \(a\ne0\).
4. Να λυθεί το σύστημα:
\[
\begin{cases}
\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=12,\\[8pt]
\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac13.
\end{cases}
\]
5. Να λυθεί το σύστημα:
\[
\begin{cases}
x^4+x^2y^2+y^4=91,\\[4pt]
x^2-xy+y^2=7.
\end{cases}
\]
6. Να λυθεί το σύστημα:
\[
\begin{cases}
x^3-y^3=19(x-y),\\[4pt]
x^3+y^3=7(x+y).
\end{cases}
\]
✏️ Για την προσπάθειά σας
Πριν ξεκινήσετε απαλοιφές και αναπτύξεις, αναζητήστε συμμετρικές εκφράσεις όπως \(x+y\), \(xy\), \(x-y\), \(x^2+xy+y^2\) και \(x^2-xy+y^2\). Σε αρκετά από τα παραπάνω συστήματα, η σωστή αλλαγή οπτικής μειώνει σημαντικά τους υπολογισμούς.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου