🔺 Πώς μπορεί ένα τρίγωνο να αποδείξει την ανισότητα (a+1)(b+1)(c+1) < 4 ;

Έστω \(a,b,c\) τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και

\[ ab+bc+ca=1. \]

🎯 Να αποδείξετε ότι

\[ \boxed{(a+1)(b+1)(c+1)\lt 4}. \]

Με την πρώτη ματιά, το πρόβλημα φαίνεται καθαρά αλγεβρικό. Όμως η πληροφορία ότι οι \(a,b,c\) είναι μήκη πλευρών ενός τριγώνου είναι ουσιαστική.

💡 Υπόδειξη:

Θυμηθείτε ότι οι πλευρές ενός τριγώνου ικανοποιούν \[ a\lt b+c,\qquad b\lt c+a,\qquad c\lt a+b. \] Προσπαθήστε να συνδυάσετε αυτές τις ανισότητες με τη σχέση \[ ab+bc+ca=1. \]

📚 Πηγή

British Mathematical Olympiad — Round 1, 2010/2011, Problem 6.

Επίσημη εκφώνηση της British Mathematical Olympiad

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →