⚖️ Το πρόβλημα των βαρών του Bachet — Πώς 4 βάρη μετρούν κάθε ακέραιο από το 1 έως το 40;

Έχουμε μια κλασική ζυγαριά με δύο δίσκους και θέλουμε να επιλέξουμε τέσσερα διαφορετικά ακέραια βάρη.

Στόχος είναι να μπορούμε να ζυγίσουμε οποιοδήποτε αντικείμενο ακέραιου βάρους

\[ 1,2,3,\ldots,40. \]

Υπάρχει όμως μια σημαντική δυνατότητα: τα βάρη μπορούν να τοποθετούνται και στους δύο δίσκους της ζυγαριάς.

Ποια τέσσερα βάρη πρέπει να επιλέξουμε;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αν ένα βάρος βρίσκεται στον ίδιο δίσκο με το αντικείμενο, μπορείς να το θεωρήσεις ότι αφαιρείται από τα βάρη της απέναντι πλευράς.

Έτσι κάθε διαθέσιμο βάρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τρεις τρόπους:

\[ -1,\qquad 0,\qquad +1. \]

Αυτό υποδεικνύει ότι ίσως δεν πρέπει να σκεφτούμε σε δυνάμεις του \(2\), αλλά σε δυνάμεις του...

\[ 3. \]

🧩 Ένα μικρό παράδειγμα

Αν διαθέταμε τα βάρη \(1\) και \(3\), θα μπορούσαμε να ζυγίσουμε όχι μόνο τα \(1\), \(3\) και \(4\), αλλά και το \(2\).

Για αντικείμενο βάρους \(2\), βάζουμε το βάρος \(1\) μαζί με το αντικείμενο και το βάρος \(3\) στον απέναντι δίσκο:

\[ 2+1=3. \]

Άρα η δυνατότητα χρησιμοποίησης και των δύο πλευρών αλλάζει εντελώς το πρόβλημα.

🔍 Η κρυμμένη ιδέα

Το πρόβλημα συνδέεται με το ισορροπημένο τριαδικό σύστημα (balanced ternary), στο οποίο κάθε αριθμός εκφράζεται χρησιμοποιώντας συντελεστές \[ -1,\;0,\;1 \] μπροστά από δυνάμεις του \(3\).

⚖️ Μπορείς να βρεις τα τέσσερα βάρη
που αρκούν για όλα τα βάρη από \(1\) έως \(40\);

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →