EisatoponAI: 📘 Η Ανισότητα του Bernoulli — Μια κομψή απόδειξη με μαθηματική επαγωγή

Μια χρήσιμη γενίκευση της κλασικής ανισότητας του Bernoulli είναι η ακόλουθη.

Θεώρημα.

Έστω \[ x_1,x_2,\ldots,x_n \] πραγματικοί αριθμοί, όλοι του ίδιου προσήμου, με \[ x_i>-1. \] Τότε

\[ \boxed{ (1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n) \ge 1+x_1+x_2+\cdots+x_n } \]

Για \(n=1\) έχουμε προφανώς

\[ 1+x_1\ge1+x_1. \]

Υποθέτουμε τώρα ότι η ανισότητα ισχύει για \(n=k\), δηλαδή

\[ (1+x_1)\cdots(1+x_k) \ge 1+x_1+\cdots+x_k. \]

Για \(n=k+1\) έχουμε

\[ (1+x_1)\cdots(1+x_k)(1+x_{k+1}) \]

και, από την επαγωγική υπόθεση,

\[ \ge (1+x_1+\cdots+x_k)(1+x_{k+1}). \]

Αναπτύσσοντας,

\[ = 1+x_1+\cdots+x_k+x_{k+1} + (x_1+\cdots+x_k)x_{k+1}. \]

Επειδή οι αριθμοί \(x_1,\ldots,x_{k+1}\) έχουν το ίδιο πρόσημο,

\[ (x_1+\cdots+x_k)x_{k+1}\ge0. \]

Άρα

\[ (1+x_1)\cdots(1+x_{k+1}) \ge 1+x_1+\cdots+x_{k+1}. \]

Επομένως, από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η ανισότητα ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο \(n\).

🔎 Ιδέα της απόδειξης

Το κρίσιμο σημείο είναι ότι ο πρόσθετος όρος \[ (x_1+\cdots+x_k)x_{k+1} \] είναι μη αρνητικός, επειδή όλοι οι \(x_i\) έχουν το ίδιο πρόσημο.

Για \(x_1=\cdots=x_n=x\), η σχέση παίρνει τη γνωστή μορφή

\[ (1+x)^n\ge1+nx, \]

που είναι η κλασική ανισότητα του Bernoulli.

EisatoponAI