◻️ Τρία ίσα τετράγωνα και τρεις τομές — Πόσο είναι το μήκος της πλευράς;

Στο σχήμα βλέπουμε τρία ίσα τετράγωνα, τοποθετημένα σε διαφορετικές θέσεις έτσι ώστε να αλληλεπικαλύπτονται ανά δύο.

Τα εμβαδά των τριών περιοχών τομής είναι αντίστοιχα

\[ 2\text{ cm}^2,\qquad 5\text{ cm}^2,\qquad 8\text{ cm}^2. \]

Γνωρίζουμε επίσης ότι το εμβαδόν της ένωσης των τριών τετραγώνων, αφού αφαιρεθούν οι περιοχές των τομών, είναι

\[ 117\text{ cm}^2. \]

❓ Πρόκληση

Ποιο είναι το μήκος της πλευράς καθενός από τα τρία ίσα τετράγωνα;

Δεν γνωρίζουμε ούτε τις γωνίες με τις οποίες έχουν περιστραφεί τα τετράγωνα ούτε τις ακριβείς διαστάσεις των περιοχών επικάλυψης.

Κι όμως, τα τρία εμβαδά

\[ 2,\quad5,\quad8 \]

και ο αριθμός \(117\) αρκούν για να προσδιορίσουμε ακριβώς την πλευρά.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Έστω \(x\) το μήκος της πλευράς κάθε τετραγώνου.

Τότε το συνολικό εμβαδόν των τριών τετραγώνων, αν τα μετρήσουμε χωριστά, είναι

\[ 3x^2. \]

Παρατηρήστε όμως ότι οι περιοχές επικάλυψης έχουν μετρηθεί περισσότερες από μία φορές.

Το συνολικό εμβαδόν τους είναι

\[ 2+5+8=15. \]

Προσέξτε ιδιαίτερα τη φράση «η ένωση των τετραγώνων μείον τις περιοχές των τομών».

Πόσες φορές πρέπει τελικά να αφαιρεθεί το \(15\) από το \(3x^2\);

🧩 Το κλειδί

Το σχήμα μοιάζει περίπλοκο, αλλά το πρόβλημα είναι ουσιαστικά μια έξυπνη εφαρμογή της αρχής εγκλεισμού–αποκλεισμού στα εμβαδά.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →