EisatoponAI: 📐 Ένα γεωμετρικό πρόβλημα με δύο χρωματισμένα εμβαδά

📐 Κόκκινο ή κίτρινο; Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα εμβαδών

Στο τρίγωνο \(ABC\) θεωρούμε τα σημεία \(M,N,P,Q\), όπως φαίνονται στο σχήμα.

Δίνονται οι σχέσεις:

\[ \angle ABN=\angle ACB, \] \[ BM=MN \]

και

\[ 6AB=5AC. \]

Τα σημεία \(A,B,Q\) είναι συνευθειακά, όπως και τα \(A,M,P\), \(B,M,N\), \(A,N,C\) και \(Q,P,N\).

❓ Να υπολογιστεί ο λόγος \[ \boxed{ \frac{E_{\text{κόκκινου}}} {E_{\text{κίτρινου}}} =\,? } \]

Το κόκκινο εμβαδόν αποτελείται από τα τρίγωνα \(ABP\) και \(BQP\), ενώ το κίτρινο από τα τρίγωνα \(AMN\) και \(MPN\).

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Ξεκινήστε από την ισότητα των γωνιών

\[ \angle ABN=\angle ACB. \]

Αναζητήστε όμοια τρίγωνα και συνδυάστε τις σχέσεις που προκύπτουν με την ισότητα \(BM=MN\).

Για τα εμβαδά, αξιοποιήστε τρίγωνα που έχουν κοινό ύψος. Ο λόγος των εμβαδών τους ισούται τότε με τον λόγο των αντίστοιχων βάσεων.

Πηγή: Eduard — X (@Eduard16180).