🎲 Διπλά ολοκληρώματα και πιθανότητες: Θα συναντηθούν δύο φίλοι στον σταθμό;

Δύο φίλοι συμφωνούν να συναντηθούν σε έναν σταθμό κάποια στιγμή μεταξύ 17:00 και 18:00.

Ο καθένας φτάνει τυχαία και ανεξάρτητα μέσα σε αυτή την ώρα. Όποιος φτάσει πρώτος περιμένει 15 λεπτά και, αν ο άλλος δεν εμφανιστεί, φεύγει.

Ποια είναι η πιθανότητα να συναντηθούν;

📐 Δύο χρόνοι, ένα τετράγωνο

Ας συμβολίσουμε με \(x\) τον χρόνο άφιξης του πρώτου φίλου και με \(y\) τον χρόνο άφιξης του δεύτερου, μετρώντας λεπτά από τις 17:00.

Τότε

\[ 0\le x\le60,\qquad 0\le y\le60. \]

Κάθε πιθανό ζεύγος αφίξεων \((x,y)\) αντιστοιχεί σε ένα σημείο μέσα στο τετράγωνο

\[ [0,60]\times[0,60]. \]

Το συνολικό εμβαδόν του τετραγώνου είναι

\[ 60\cdot60=3600. \]

⏱️ Πότε συναντιούνται;

Για να συναντηθούν, η διαφορά των χρόνων άφιξης δεν πρέπει να ξεπερνά τα 15 λεπτά:

\[ \boxed{|x-y|\le15}. \]

Γεωμετρικά, αυτό αντιστοιχεί σε μια διαγώνια λωρίδα γύρω από την ευθεία

\[ y=x. \]

Τα σημεία έξω από αυτή τη λωρίδα αντιστοιχούν στις περιπτώσεις όπου ο ένας φτάνει περισσότερο από 15 λεπτά πριν από τον άλλον.

📊 Η γεωμετρική λύση

Το τετράγωνο έχει πλευρά \(60\). Οι δύο περιοχές όπου οι φίλοι δεν συναντιούνται είναι δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές

\[ 60-15=45. \]

Το συνολικό εμβαδόν τους είναι

\[ 2\cdot\frac12\cdot45^2=2025. \]

Άρα η περιοχή όπου συναντιούνται έχει εμβαδόν

\[ 3600-2025=1575. \]

Επομένως

\[ P(\text{συνάντηση}) = \frac{1575}{3600} = \frac{7}{16} = 0.4375. \]

Η πιθανότητα να συναντηθούν είναι 43,75%.

∬ Πού εμφανίζεται το διπλό ολοκλήρωμα;

Αν θεωρήσουμε ότι οι δύο χρόνοι άφιξης είναι ανεξάρτητοι και ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο διάστημα \([0,60]\), τότε η κοινή πυκνότητα είναι σταθερή:

\[ f(x,y)=\frac1{3600}. \]

Η πιθανότητα συνάντησης γράφεται ως διπλό ολοκλήρωμα πάνω στην περιοχή

\[ R=\{(x,y):0\le x,y\le60,\ |x-y|\le15\}. \]

Άρα

\[ P((x,y)\in R) = \iint_R \frac1{3600}\,dx\,dy. \]

Επειδή η πυκνότητα είναι σταθερή, το διπλό ολοκλήρωμα ουσιαστικά υπολογίζει το εμβαδόν της ευνοϊκής περιοχής και το διαιρεί με το συνολικό εμβαδόν.

💡 Η βασική ιδέα

Σε προβλήματα δύο συνεχών τυχαίων μεταβλητών, η πιθανότητα συχνά μετατρέπεται σε εμβαδόν περιοχής — και το διπλό ολοκλήρωμα είναι το εργαλείο που μετρά αυτή την περιοχή.

❓ Και πόσο πρέπει να περιμένουν για πιθανότητα 50%;

Αν ο καθένας περιμένει \(t\) λεπτά, τότε οι δύο αποτυχημένες περιοχές είναι τρίγωνα με πλευρά \(60-t\).

Άρα

\[ P(\text{συνάντηση}) = 1-\frac{(60-t)^2}{60^2}. \]

Για πιθανότητα \(1/2\),

\[ 1-\frac{(60-t)^2}{3600}=\frac12. \]

Έτσι

\[ 60-t=\frac{60}{\sqrt2}, \]

και επομένως

\[ \boxed{ t=60\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)\approx17.6\text{ λεπτά} }. \]

Για μια πραγματικά «50-50» συνάντηση, τα 15 λεπτά δεν αρκούν.
Χρειάζονται περίπου 17 λεπτά και 34 δευτερόλεπτα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →