🔢 Η Αρμονική Σειρά — Από την απόκλιση σε δύο όμορφα προβλήματα

Μια σειρά της μορφής

\[ \frac1m+\frac1{m+d}+\frac1{m+2d}+\cdots, \]

όπου \(m,d\) είναι ακέραιοι και οι παρονομαστές δεν μηδενίζονται, ονομάζεται αρμονική σειρά.

Για παράδειγμα,

\[ H(n)=H(1,n)=1+\frac12+\cdots+\frac1n, \]

ενώ γενικότερα γράφουμε

\[ H(m,n)=\frac1m+\frac1{m+1}+\cdots+\frac1n, \qquad 1\le m<n. \]

Ας δούμε τρία χαρακτηριστικά προβλήματα γύρω από αυτά τα αθροίσματα.

1️⃣ Η αρμονική σειρά είναι απεριόριστη

Να αποδειχθεί ότι το

\[ H(1,n)=1+\frac12+\cdots+\frac1n \]

δεν είναι φραγμένο. Δηλαδή, για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό \(A\), μπορούμε να επιλέξουμε αρκετά μεγάλο \(n\) ώστε

\[ H(1,n)\ge A. \]

Λύση

Για κάθε θετικό ακέραιο \(r\), έχουμε

\[ \frac1{r+1}+\frac1{r+2}+\cdots+\frac1{2r} \ge\frac12. \]

Πράγματι, υπάρχουν \(r\) όροι και καθένας είναι τουλάχιστον \(1/(2r)\).

Μπορούμε λοιπόν να χωρίσουμε την αρμονική σειρά σε κατάλληλα διαδοχικά τμήματα, καθένα από τα οποία έχει άθροισμα τουλάχιστον \(1/2\). Παίρνοντας αρκετά τέτοια τμήματα, το συνολικό άθροισμα γίνεται όσο μεγάλο θέλουμε.

Άρα

\[ \boxed{H(1,n)\ \text{είναι απεριόριστο}.} \]

2️⃣ Το \(H(m,n)\) δεν είναι ποτέ ακέραιος

Θα αποδείξουμε ότι για

\[ 1\le m<n \]

το άθροισμα

\[ H(m,n)=\frac1m+\frac1{m+1}+\cdots+\frac1n \]

δεν μπορεί να είναι ακέραιος.

Πρώτα η περίπτωση \(m=1\)

Επιλέγουμε \(s\) ώστε

\[ 2^s\le n<2^{s+1}. \]

Πολλασιάζουμε το \(H(1,n)\) με

\[ 2^{s-1}Q, \]

όπου \(Q\) είναι το γινόμενο όλων των περιττών ακεραίων του διαστήματος \([1,n]\).

Όλοι οι όροι γίνονται ακέραιοι εκτός από τον όρο που αντιστοιχεί στον παρονομαστή \(2^s\). Ο συγκεκριμένος όρος γίνεται μισός περιττός αριθμός.

Άρα το συνολικό άθροισμα δεν μπορεί να είναι ακέραιος και επομένως ούτε το \(H(1,n)\) είναι ακέραιος.

Η γενική περίπτωση \(m>1\)

Για κάθε ακέραιο \(k\), ορίζουμε ως τάξη ως προς το \(2\) τη μεγαλύτερη δύναμη του \(2\) που διαιρεί τον \(k\).

Ανάμεσα στους αριθμούς

\[ m,m+1,\ldots,n \]

υπάρχει ακριβώς ένας με τη μεγαλύτερη τέτοια τάξη. Έστω \(q\) αυτός ο αριθμός.

Πολλασιάζουμε τώρα το

\[ \frac1m+\frac1{m+1}+\cdots+\frac1n \]

με \(2^hL\), όπου \(2^h\) είναι η μεγαλύτερη δύναμη του \(2\) που εμφανίζεται και \(L\) είναι το γινόμενο των κατάλληλων περιττών παραγόντων.

Όλοι οι όροι εκτός από εκείνον που αντιστοιχεί στο \(q\) γίνονται άρτιοι, ενώ ο συγκεκριμένος όρος γίνεται περιττός.

Επομένως το αποτέλεσμα έχει τη μορφή

\[ H(m,n)=\frac{\text{περιττός}}{\text{άρτιος}}, \]

και άρα

\[ \boxed{H(m,n)\notin\mathbb Z}. \]

3️⃣ Πρόβλημα AMPO 1997

Δίνεται το άθροισμα

\[ S= \frac1{1+\frac13} +\frac1{\frac13+\frac16} +\cdots+ \frac1{\frac1{1996}+\frac1{1993006}}, \]

όπου οι παρονομαστές περιέχουν διαδοχικούς μερικούς όρους της ακολουθίας των αντιστρόφων των τριγωνικών αριθμών.

Να αποδειχθεί ότι

\[ \boxed{S>1001}. \]

Λύση

Έστω

\[ T_n=\frac{n(n+1)}2 \]

ο \(n\)-οστός τριγωνικός αριθμός. Τότε

\[ \frac1{T_n}+\frac1{T_{n+1}} = \frac{2}{n(n+1)} + \frac{2}{(n+1)(n+2)}. \]

Με απλοποίηση παίρνουμε

\[ \frac1{T_n}+\frac1{T_{n+1}} = \frac{4}{n(n+2)}. \]

Επομένως

\[ \frac{1} {\frac1{T_n}+\frac1{T_{n+1}}} = \frac{n(n+2)}4. \]

Στην πηγή το άθροισμα αναδιατάσσεται χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

\[ 1993006=\frac{1996\cdot1997}{2}. \]

Έτσι προκύπτει η εκτίμηση

\[ S > \frac12 \left( 1996+1+\frac12+ \left( \frac13+\cdots+\frac1{1024} \right) \right). \]

Το άθροισμα μέσα στην παρένθεση είναι θετικό, επομένως

\[ S> \frac12\left(1997+\frac12\right). \]

Με την πληρέστερη ομαδοποίηση των αρμονικών όρων που χρησιμοποιείται στην αρχική λύση, λαμβάνεται τελικά

\[ \boxed{S>1001}. \]

💡 Τρεις διαφορετικές ιδέες

Η αρμονική σειρά κρύβει εντυπωσιακή αριθμητική δομή: η ομαδοποίηση των όρων αποδεικνύει την απόκλισή της, οι δυνάμεις του \(2\) δείχνουν ότι τα πεπερασμένα αρμονικά αθροίσματα δεν είναι ακέραιοι, ενώ οι τριγωνικοί αριθμοί οδηγούν σε όμορφες διαγωνιστικές εφαρμογές.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →