📐 Η Γωνία Δύο Καμπυλών — Μπορείτε να τη Βρείτε Χωρίς Διανύσματα;

Στον πίνακα γράφουμε τις συναρτήσεις

\[ f(x)=x^3 \qquad\text{και}\qquad g(x)=2x^2. \]

Θέλουμε να υπολογίσουμε τις γωνίες που σχηματίζουν οι δύο καμπύλες στα σημεία τομής τους. Ως γωνία δύο καμπυλών σε ένα κοινό σημείο θεωρούμε τη γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενές τους στο σημείο αυτό.

Αρχικά βρίσκουμε:

\[ x^3=2x^2 \iff x^2(x-2)=0, \]

οπότε τα κοινά σημεία είναι

\[ O(0,0),\qquad P(2,8). \]

Οι παράγωγοι δίνουν τις κλίσεις των αντίστοιχων εφαπτομένων:

\[ f'(x)=3x^2,\qquad g'(x)=4x. \] \[ f'(0)=g'(0)=0, \qquad f'(2)=12,\quad g'(2)=8. \]

Στο \(O\) οι δύο εφαπτόμενες συμπίπτουν με τον άξονα \(x'x\), επομένως η γωνία των καμπυλών είναι \(0^\circ\).

🎯 Η πρόκληση

Στο \(P(2,8)\) οι εφαπτόμενες έχουν συντελεστές διεύθυνσης \(12\) και \(8\).

Μπορείτε να υπολογίσετε τη μεταξύ τους γωνία χωρίς να χρησιμοποιήσετε διανύσματα κατεύθυνσης;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Θυμηθείτε τη σχέση ανάμεσα στον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας και στη γωνία \(\alpha\) που σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα \(Ox\):

\[ \lambda=\tan\alpha. \]

Αν οι δύο εφαπτόμενες σχηματίζουν γωνίες \(\alpha\) και \(\beta\) με τον άξονα \(Ox\), ζητείται ουσιαστικά η \(\lvert\alpha-\beta\rvert\). Χρησιμοποιήστε τον τύπο της \(\tan(\alpha-\beta)\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →