🔵 Ο Μοναδιαίος Κύκλος — Ο χάρτης του ημιτόνου και του συνημιτόνου

Ένας κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με \(1\) είναι αρκετός για να οργανώσει ένα μεγάλο μέρος της Τριγωνομετρίας.

\[ x^2+y^2=1. \]

Αυτός είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

📐 Από τη γωνία στις συντεταγμένες

Αν μια ακτίνα σχηματίζει γωνία \(\theta\) με τον θετικό ημιάξονα \(x\) και συναντά τον κύκλο στο σημείο \(P\), τότε

\[ \boxed{P=(\cos\theta,\sin\theta)}. \]

Επομένως το συνημίτονο είναι η τετμημένη του \(P\), ενώ το ημίτονο είναι η τεταγμένη του:

\[ x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta. \]

Για παράδειγμα, για \(\theta=45^\circ\): \[ P=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right). \] Για \(\theta=60^\circ\): \[ P=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right). \]

🧭 Τα πρόσημα στα τέσσερα τεταρτημόρια

Καθώς το σημείο \(P\) κινείται πάνω στον κύκλο, τα πρόσημα των συντεταγμένων του αλλάζουν. Έτσι προκύπτουν αμέσως και τα πρόσημα του \(\cos\theta\) και του \(\sin\theta\):

\[ \begin{array}{c|cc} & \cos\theta & \sin\theta\\ \hline I & + & +\\ II & - & +\\ III & - & -\\ IV & + & - \end{array} \]

✨ Και η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα;

Επειδή κάθε σημείο του μοναδιαίου κύκλου ικανοποιεί

\[ x^2+y^2=1, \]

αν αντικαταστήσουμε

\[ x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta, \]

παίρνουμε αμέσως:

\[ \boxed{\sin^2\theta+\cos^2\theta=1} \]

Έτσι μια από τις σημαντικότερες ταυτότητες της Τριγωνομετρίας δεν χρειάζεται απλώς να απομνημονευθεί — φαίνεται γεωμετρικά πάνω στον κύκλο.

Μία γωνία → ένα σημείο → δύο συντεταγμένες → ημίτονο και συνημίτονο. 🔵

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →