Τριάντα άνθρωποι ψηφίζουν. Οι προτιμήσεις τους καταγράφονται με ακρίβεια και δεν αλλάζουν. Παρ’ όλα αυτά, μπορούν να προκύψουν τρεις διαφορετικοί νικητές, ανάλογα με τον κανόνα που θα χρησιμοποιηθεί για την καταμέτρηση.
Αυτό είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα σημεία συνάντησης των Μαθηματικών με την Πολιτική: η συλλογική απόφαση εξαρτάται τόσο από τις προτιμήσεις των ψηφοφόρων όσο και από τον τρόπο με τον οποίο αυτές συνδυάζονται. Η επιλογή ενός προσώπου, η κατανομή εδρών και η λήψη μιας απόφασης από αντιπροσώπους είναι διαφορετικά προβλήματα, με διαφορετικά μαθηματικά εργαλεία. [1]
Μία εκλογή, τρεις διαφορετικοί νικητές
Μια ομάδα 30 ψηφοφόρων καλείται να επιλέξει μία από τρεις προτάσεις: Α, Β και Γ. Κάθε ψηφοφόρος τις κατατάσσει με σειρά προτίμησης. Οι κατατάξεις είναι οι εξής:
| Αριθμός ψηφοφόρων | 1η επιλογή | 2η επιλογή | 3η επιλογή |
|---|---|---|---|
| 12 | Α | Γ | Β |
| 10 | Β | Γ | Α |
| 8 | Γ | Β | Α |
Για τη σύγκριση θεωρούμε ότι όλοι εκφράζουν ειλικρινά αυτές τις προτιμήσεις, συμμετέχουν σε κάθε γύρο και τις διατηρούν σταθερές. Αλλάζουμε μόνο τον κανόνα ανάδειξης του νικητή.
Σχετική πλειοψηφία: κερδίζει η Α
Αν μετρήσουμε μόνο τις πρώτες επιλογές, η Α συγκεντρώνει 12 ψήφους, η Β 10 και η Γ 8. Επομένως νικά η Α, με ποσοστό:
12 / 30 × 100% = 40%.
Αυτός είναι κανόνας σχετικής πλειοψηφίας: αρκεί να έχει κάποιος περισσότερες ψήφους από καθέναν από τους άλλους. Δεν απαιτείται να ξεπεράσει το 50%. Η απόλυτη πλειοψηφία των 30 ψήφων θα απαιτούσε τουλάχιστον 16. [1]
Δύο γύροι: κερδίζει η Β
Ας εφαρμόσουμε τώρα έναν κανόνα δύο γύρων: αν κανείς δεν συγκεντρώσει πάνω από το 50% στον πρώτο, αναμετρώνται οι δύο πρώτοι. Στο παράδειγμά μας περνούν η Α και η Β.
Οι 8 ψηφοφόροι που είχαν πρώτη τη Γ προτιμούν τη Β από την Α. Με τις παραδοχές του παραδείγματος, η δεύτερη αναμέτρηση δίνει 18 ψήφους στη Β και 12 στην Α. Η Β κερδίζει με 60%. Οι προτιμήσεις δεν άλλαξαν· άλλαξε η διαδικασία που τις αξιοποιεί.
Βαθμολόγηση Borda: κερδίζει η Γ
Μια τρίτη προσέγγιση αξιοποιεί ολόκληρη την κατάταξη. Στη συγκεκριμένη εκδοχή της μεθόδου Borda, κάθε ψηφοδέλτιο δίνει 2 βαθμούς στην πρώτη επιλογή, 1 στη δεύτερη και 0 στην τρίτη. [2]
| Πρόταση | Υπολογισμός | Συνολικοί βαθμοί |
|---|---|---|
| Α | 12 × 2 + 10 × 0 + 8 × 0 | 24 |
| Β | 12 × 0 + 10 × 2 + 8 × 1 | 28 |
| Γ | 12 × 1 + 10 × 1 + 8 × 2 | 38 |
Νικήτρια είναι η Γ. Παρότι έχει τις λιγότερες πρώτες επιλογές, βρίσκεται στη δεύτερη θέση των άλλων 22 ψηφοφόρων. Αν διαιρέσουμε τη συνολική βαθμολογία κάθε πρότασης με το 30, παίρνουμε τον μέσο βαθμό της: 0,80 για την Α, περίπου 0,93 για τη Β και 1,27 για τη Γ. Η κατάταξη παραμένει ίδια.
Οι αριθμοί αυτοί είναι βαθμοί που αποδίδει ο συγκεκριμένος κανόνας στις θέσεις κατάταξης. Δεν μετρούν πόσο έντονα επιθυμεί κάθε ψηφοφόρος μια πρόταση.
| Κανόνας | Νικητής | Τι αξιοποιεί |
|---|---|---|
| Σχετική πλειοψηφία | Α | Μόνο τις πρώτες επιλογές |
| Δύο γύροι | Β | Την επιλογή ανάμεσα στους δύο πρώτους |
| Borda, με βαθμούς 2–1–0 | Γ | Ολόκληρη την κατάταξη |
Το αποτέλεσμα δεν αρκεί για να χαρακτηρίσουμε έναν κανόνα «σωστό» και τους άλλους «λάθος». Κάθε κανόνας δίνει έμφαση σε διαφορετικό κριτήριο. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, μάλιστα, η Γ θα κέρδιζε και τις δύο απευθείας αναμετρήσεις: τη μεν Α με 18–12, τη δε Β με 20–10. Το να υπερέχει μια επιλογή σε κάθε σύγκριση ανά ζεύγος είναι ακόμη ένα πιθανό κριτήριο αξιολόγησης.
Όταν οι ψήφοι πρέπει να γίνουν έδρες
Η εκλογή ενός νικητή διαφέρει από την εκλογή ενός συμβουλίου. Ας κρατήσουμε τις ίδιες 30 πρώτες επιλογές, αλλά ας θεωρήσουμε τώρα ότι οι Α, Β και Γ είναι συνδυασμοί που διεκδικούν 10 έδρες.
Σε μια ενιαία περιφέρεια, χωρίς όριο εισόδου ή πρόσθετες έδρες, οι ιδανικές αναλογικές κατανομές θα ήταν:
Α: 10 × 12/30 = 4 έδρες
Β: 10 × 10/30 = 3⅓ έδρες
Γ: 10 × 8/30 = 2⅔ έδρες.
Οι έδρες είναι ακέραιες. Χρειαζόμαστε επομένως έναν κανόνα κατανομής. Στο παράδειγμα χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των μεγαλύτερων υπολοίπων με ποσόστωση Hare. Η ποσόστωση είναι 30/10 = 3 ψήφοι ανά έδρα. Αποδίδουμε αρχικά 4, 3 και 2 έδρες, και η μία που απομένει πηγαίνει στη Γ, επειδή έχει το μεγαλύτερο υπόλοιπο. [3]
| Συνδυασμός | Ψήφοι | Ποσοστό ψήφων | Τελικές έδρες | Ποσοστό εδρών |
|---|---|---|---|---|
| Α | 12 | 40% | 4 | 40% |
| Β | 10 | 33,3% | 3 | 30% |
| Γ | 8 | 26,7% | 3 | 30% |
Η αναλογική εκπροσώπηση επιδιώκει την προσέγγιση των ποσοστών ψήφων και εδρών. Η απόλυτη ταύτιση δεν είναι πάντοτε δυνατή, επειδή οι έδρες δεν τεμαχίζονται. Οι διαφορετικές μέθοδοι κατανομής, το μέγεθος των περιφερειών και τα όρια εισόδου επηρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα.
Η ίδια ψήφος μέσα σε διαφορετικές περιφέρειες
Ας χωρίσουμε τώρα τους ίδιους 30 ψηφοφόρους σε 10 μονοεδρικές περιφέρειες των 3 ψηφοφόρων. Σε καθεμία εκλέγεται ο πρώτος σε ψήφους. Η ακόλουθη γεωγραφική κατανομή διατηρεί ακριβώς τα συνολικά αποτελέσματα 12–10–8:
| Αριθμός περιφερειών | Ψήφοι Α σε καθεμία | Ψήφοι Β σε καθεμία | Ψήφοι Γ σε καθεμία | Νικητής |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 1 | 0 | Α |
| 2 | 2 | 0 | 1 | Α |
| 2 | 0 | 2 | 1 | Β |
| 2 | 0 | 1 | 2 | Γ |
Η Α κερδίζει τις 6 από τις 10 έδρες, ενώ οι Β και Γ από 2. Έχει έτσι 40% των ψήφων αλλά 60% των εδρών. Με την προηγούμενη αναλογική κατανομή, οι ίδιες συνολικές ψήφοι έδιναν 4–3–3 έδρες.
| Συνδυασμός | Μεγαλύτερα υπόλοιπα, ενιαία περιφέρεια | Σχετική πλειοψηφία, 10 μονοεδρικές |
|---|---|---|
| Α | 4 έδρες | 6 έδρες |
| Β | 3 έδρες | 2 έδρες |
| Γ | 3 έδρες | 2 έδρες |
Στο παράδειγμα αλλάξαμε τη δομή των περιφερειών και τον τρόπο κατανομής, κρατώντας σταθερές τις συνολικές πρώτες επιλογές. Σε πραγματικές εκλογές, μια αλλαγή συστήματος μπορεί επιπλέον να επηρεάσει τη στρατηγική των υποψηφίων και των ψηφοφόρων. Η προσομοίωση απομονώνει μόνο το αριθμητικό σκέλος.
Σταθμισμένη ψήφος: άλλο το βάρος, άλλο η ισχύς
Σε ένα υποθετικό συμβούλιο τριών φορέων, ο Α διαθέτει βάρος 4, ο Β βάρος 3 και ο Γ βάρος 2. Μια πρόταση εγκρίνεται όταν οι υποστηρικτές της συγκεντρώνουν τουλάχιστον 5 μονάδες.
| Συνασπισμός | Συνολικό βάρος | Έγκριση |
|---|---|---|
| Α μόνος | 4 | Όχι |
| Β μόνος | 3 | Όχι |
| Γ μόνος | 2 | Όχι |
| Α + Β | 7 | Ναι |
| Α + Γ | 6 | Ναι |
| Β + Γ | 5 | Ναι |
Κανένας δεν μπορεί να αποφασίσει μόνος του, αλλά οποιοιδήποτε δύο μπορούν. Παρά τα διαφορετικά βάρη, και οι τρεις βρίσκονται στην ίδια θέση ως προς το αν η συμμετοχή τους μπορεί να αλλάξει την έκβαση μιας ψηφοφορίας.
Ο κανονικοποιημένος δείκτης Banzhaf καταγράφει πόσες φορές κάθε μέλος είναι κρίσιμο σε έναν νικηφόρο συνασπισμό: αν αποχωρήσει, ο συνασπισμός χάνει. Εδώ ο καθένας είναι κρίσιμος σε δύο συνασπισμούς. Στον συνασπισμό και των τριών δεν είναι κανείς κρίσιμος, επειδή όποιοι δύο απομείνουν φτάνουν το όριο. Άρα οι τρεις δείκτες είναι ίσοι: [4]
Α: 2/6 = 1/3 · Β: 2/6 = 1/3 · Γ: 2/6 = 1/3.
Ο συγκεκριμένος δείκτης μετρά τη δυνατότητα μεταβολής της έκβασης μέσα σε ένα μαθηματικό μοντέλο συνασπισμών. Δεν αποτελεί πρόβλεψη πραγματικών πολιτικών συνεργασιών, καθώς δεν λαμβάνει εδώ υπόψη προτιμήσεις, δεσμεύσεις ή διαφορετικές πιθανότητες σχηματισμού συνεργασιών.
Η μαθηματική πλευρά μιας πολιτικής και νομικής επιλογής
Οι μέθοδοι καταμέτρησης και συνδυασμού προτιμήσεων απασχολούν τη μαθηματική σκέψη τουλάχιστον από τον 18ο αιώνα, με τις εργασίες του Borda και του Condorcet. Στη συνέχεια, η θεωρία κοινωνικής επιλογής και οι δείκτες ισχύος διεύρυναν τα εργαλεία ανάλυσης των συλλογικών αποφάσεων. [2]
Η σύνδεση με την Πολιτική Παιδεία και το Δίκαιο είναι άμεση: οι κανόνες καθορίζουν ποιοι συμμετέχουν, πώς καταγράφεται μια επιλογή, ποιες είναι οι περιφέρειες και πώς αντιμετωπίζονται τα υπόλοιπα ή οι ισοψηφίες. Η αναλογικότητα, η τοπική εκπροσώπηση και η δυνατότητα σχηματισμού σταθερών πλειοψηφιών είναι κριτήρια που μπορούν να οδηγήσουν σε διαφορετικές επιλογές σχεδιασμού. [1]
Τα μαθηματικά επιτρέπουν να ελέγξουμε τις συνέπειες κάθε κανόνα. Η αξιολόγηση των στόχων του προϋποθέτει επιπλέον πολιτική συζήτηση και σεβασμό στο θεσμικό πλαίσιο.
Μια προσομοίωση εκλογών στην τάξη
Η δραστηριότητα μπορεί να ξεκινήσει από ένα οικείο θέμα, όπως η επιλογή μιας σχολικής δράσης, χωρίς χρήση πραγματικών κομμάτων ή καταγραφή προσωπικών πολιτικών προτιμήσεων. Για να αναπαραχθεί ακριβώς το παράδειγμα, χρησιμοποιούμε 30 κάρτες με τις τρεις κατατάξεις του πρώτου πίνακα.
- Καταγράφουμε τις προτιμήσεις. Δώδεκα κάρτες γράφουν Α–Γ–Β, δέκα Β–Γ–Α και οκτώ Γ–Β–Α. Ελέγχουμε το σύνολο πριν ξεκινήσουμε.
- Μετράμε με τρεις κανόνες. Κάθε ομάδα εφαρμόζει σχετική πλειοψηφία, δύο γύρους και Borda 2–1–0. Παρουσιάζει το αποτέλεσμα μαζί με τις πράξεις, ώστε να μπορεί να ελεγχθεί από τις άλλες ομάδες.
- Μοιράζουμε δέκα έδρες. Με τις πρώτες επιλογές ως ψήφους συνδυασμών, εφαρμόζουμε τη μέθοδο μεγαλύτερων υπολοίπων. Έπειτα χρησιμοποιούμε τις δέκα μονοεδρικές του πίνακα και συγκρίνουμε ποσοστά ψήφων και εδρών.
- Αλλάζουμε μία παράμετρο. Στο σταθμισμένο συμβούλιο κρατάμε τα βάρη 4, 3 και 2, αλλά αυξάνουμε το όριο έγκρισης από 5 σε 6. Εξετάζουμε ποιες συνεργασίες εξακολουθούν να κερδίζουν και ποιο μέλος γίνεται απαραίτητο.
- Γράφουμε την ερμηνεία. Στη Γλώσσα οι μαθητές συντάσσουν δύο σύντομους τίτλους για το ίδιο αποτέλεσμα και εξετάζουν αν αποδίδουν όλη την πληροφορία. Στην Πληροφορική οργανώνουν τους πίνακες και τις πράξεις σε υπολογιστικό φύλλο.
Πριν από οποιαδήποτε πραγματική ψηφοφορία της τάξης, συμφωνούμε στον κανόνα, στον τρόπο αντιμετώπισης ισοψηφιών και στο τι ακριβώς επιλέγουμε. Η αλλαγή κανόνα μετά τη γνωστοποίηση των ψήφων είναι διαφορετική διαδικασία από μια προσομοίωση στην οποία οι εναλλακτικοί κανόνες εξετάζονται εξαρχής.
Απαντήσεις και πρόσθετη μαθηματική πρόκληση
Εκλογή ενός νικητή: Α με σχετική πλειοψηφία, Β με δύο γύρους και Γ με Borda. Οι βαθμολογίες Borda είναι αντίστοιχα 24, 28 και 38.
Δέκα έδρες: 4–3–3 με τη συγκεκριμένη αναλογική μέθοδο και 6–2–2 με τη συγκεκριμένη διαίρεση σε μονοεδρικές περιφέρειες.
Όριο 6 στο σταθμισμένο συμβούλιο: οι Α+Β και Α+Γ κερδίζουν, ενώ οι Β+Γ δεν αρκούν. Ο Α είναι πλέον απαραίτητος σε κάθε νικηφόρο συνασπισμό. Οι κρίσιμες συμμετοχές είναι 3 για τον Α, 1 για τον Β και 1 για τον Γ. Οι κανονικοποιημένοι δείκτες Banzhaf γίνονται 3/5, 1/5 και 1/5. Τα βάρη έμειναν ίδια, αλλά η αλλαγή του ορίου άλλαξε την κατανομή ισχύος.
Η ψήφος μέσα από τον κανόνα της
Η δύναμη της ψήφου συνδέεται με τον τρόπο καταγραφής της, με τις άλλες προτιμήσεις και με τον κανόνα που μετατρέπει τις επιμέρους επιλογές σε συλλογική απόφαση. Το ίδιο σύνολο προτιμήσεων μπορεί να αναδείξει διαφορετικό νικητή, ενώ τα ίδια συνολικά ποσοστά μπορούν να δώσουν διαφορετικό συσχετισμό εδρών.
Η κατανόηση αυτών των μηχανισμών βοηθά τους μαθητές να ξεχωρίζουν τη σχετική από την απόλυτη πλειοψηφία, την αναλογικότητα από τη στρογγυλοποίηση και το αριθμητικό βάρος από την ισχύ μέσα σε έναν συνασπισμό. Έτσι, η μελέτη των εκλογών γίνεται μια συγκεκριμένη άσκηση υπολογισμού, ερμηνείας και τεκμηριωμένου διαλόγου.
Πηγές και περαιτέρω ανάγνωση
- European Commission (2008), Handbook for European Union Election Observation, δεύτερη έκδοση. Πίνακας εκλογικών συστημάτων και θεσμικό πλαίσιο. Χρησιμοποιείται για τους γενικούς ορισμούς, όχι ως περιγραφή σημερινού εθνικού εκλογικού δικαίου.
- Pacuit, E., Voting Methods, Stanford Encyclopedia of Philosophy. Μέθοδοι συνδυασμού προτιμήσεων, Borda και συγκρίσεις ανά ζεύγη.
- ACE Electoral Knowledge Network, Electoral Systems: αναλογική εκπροσώπηση, ποσοστώσεις και μέθοδος μεγαλύτερων υπολοίπων.
- Duke University, Math Everywhere — Voting: Power in Weighted Voting Systems και Banzhaf Power Index. Για την αρχική εργασία: Banzhaf, J. F. (1965), Weighted Voting Doesn’t Work: A Mathematical Analysis, Rutgers Law Review, 19, 317–343.
Οι αριθμητικές περιπτώσεις και οι πίνακες του άρθρου είναι εκπαιδευτικές κατασκευές. Οι υπολογισμοί έγιναν με σταθερές προτιμήσεις, πλήρη συμμετοχή και τους ρητά αναφερόμενους κανόνες.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου