Ο Ρωμαίος και η Ιουλιέτα συμφωνούν να συναντηθούν στον σταθμό κάποια στιγμή μεταξύ 5:00 και 6:00 το απόγευμα.
Ο καθένας φτάνει τυχαία και ανεξάρτητα μέσα σε αυτή την ώρα. Όποιος φτάσει πρώτος περιμένει για 15 λεπτά. Αν ο άλλος δεν εμφανιστεί μέχρι τότε, φεύγει.
Το πρόβλημα φαίνεται να αφορά μόνο τον χρόνο, αλλά κρύβει μια πολύ όμορφη γεωμετρική πιθανότητα.
Αν \(x\) είναι ο χρόνος άφιξης του Ρωμαίου και \(y\) ο χρόνος άφιξης της Ιουλιέτας, τότε κάθε πιθανό ζεύγος αφίξεων αντιστοιχεί σε ένα σημείο \((x,y)\) μέσα σε ένα τετράγωνο \(60\times60\).
Για να συναντηθούν πρέπει η διαφορά των χρόνων άφιξής τους να μην ξεπερνά τα 15 λεπτά:
\[ \boxed{|x-y|\le15}. \]Έτσι, ένα πρόβλημα καθημερινής ζωής μετατρέπεται ξαφνικά σε πρόβλημα εμβαδού στο επίπεδο — και, αν θέλουμε, σε μια πολύ φυσική πρώτη γνωριμία με το διπλό ολοκλήρωμα.
💡 Εμφάνιση υπόδειξης
Σχεδιάστε το τετράγωνο
\[ 0\le x\le60,\qquad 0\le y\le60. \]Οι ευθείες
\[ y=x+15 \qquad\text{και}\qquad y=x-15 \]χωρίζουν το τετράγωνο σε περιοχές. Η περιοχή ανάμεσα στις δύο ευθείες αντιστοιχεί στις περιπτώσεις όπου οι δύο άνθρωποι συναντιούνται.
Συγκρίνετε το εμβαδόν αυτής της περιοχής με το συνολικό εμβαδόν του τετραγώνου.
Πόσα λεπτά θα έπρεπε να περιμένει ο καθένας ώστε η πιθανότητα συνάντησης να είναι ακριβώς 50%;
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου