🧠 Μια «απόδειξη» ότι δεν υπάρχουν μεγάλοι φυσικοί αριθμοί

Ας δούμε την παρακάτω φαινομενικά αθώα απόδειξη:

Το \(0\) είναι προφανώς μικρός αριθμός.

Αν ένας αριθμός \(n\) είναι μικρός, τότε προσθέτοντας \(1\) δεν μπορεί ξαφνικά να γίνει μεγάλος.

Άρα, αν \(n\) είναι μικρός, τότε και ο \(n+1\) είναι μικρός.

Επομένως, με μαθηματική επαγωγή, κάθε φυσικός αριθμός είναι μικρός.

Q.E.D.

Το συμπέρασμα είναι προφανώς παράλογο.

❓ Πού ακριβώς βρίσκεται το λάθος;

✅ Απάντηση

Το πρόβλημα βρίσκεται στο επαγωγικό βήμα:

\[ n\text{ μικρός}\quad\Longrightarrow\quad n+1\text{ μικρός}. \]

Η πρόταση αυτή δεν έχει αποδειχθεί. Απλώς ακούγεται διαισθητικά λογική.

Η μαθηματική επαγωγή απαιτεί μια σαφώς ορισμένη ιδιότητα \(P(n)\) και απόδειξη ότι

\[ P(n)\Longrightarrow P(n+1) \]

για κάθε φυσικό \(n\).

Η λέξη «μικρός» όμως δεν έχει σαφή μαθηματικό ορισμό.

Αν, για παράδειγμα, ορίσουμε

\[ n\text{ είναι μικρός}\iff n<1000 div="">

τότε το \(999\) είναι μικρό, αλλά το \(1000\) όχι.

Άρα το επαγωγικό βήμα αποτυγχάνει ακριβώς στο σημείο

\[ 999\longrightarrow1000. \]

💡 Η ουσία

Η μαθηματική επαγωγή είναι απολύτως σωστή μέθοδος. Το λάθος βρίσκεται στο ότι χρησιμοποιούμε μια ασαφή έννοια σαν να ήταν αυστηρά ορισμένη μαθηματική ιδιότητα.

Το παράδειγμα συνδέεται με το γνωστό παράδοξο του σωρού: μια μικρή αλλαγή δεν φαίνεται να αλλάζει μια ασαφή κατηγορία, αλλά πολλές μικρές αλλαγές τελικά μπορούν να την αλλάξουν.

Στα μαθηματικά, το «φαίνεται λογικό» δεν αρκεί.
Το κρίσιμο βήμα πρέπει να αποδεικνύεται.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →