🔢 Χωρίς να λύσετε την εξίσωση — Πόσο είναι το άθροισμα των αντιστρόφων των ριζών;

Έστω \(x_1,x_2,x_3,x_4\) οι τέσσερις ρίζες της εξίσωσης

\[ x^4-2x^3-7x^2-2x+1=0. \]

❓ Πρόκληση

Χωρίς να υπολογίσετε τις τέσσερις ρίζες, βρείτε την τιμή της παράστασης \[ \boxed{ \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4} } \]

Μια εξίσωση τέταρτου βαθμού ίσως μας παρακινεί να αναζητήσουμε πρώτα τις ρίζες της.

Εδώ όμως αυτό είναι εντελώς περιττό.

Οι συντελεστές του πολυωνύμου περιέχουν ήδη όλες τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Γράψτε το ζητούμενο με κοινό παρονομαστή:

\[ \frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\frac1{x_4} = \frac{ x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4 }{ x_1x_2x_3x_4 }. \]

Τώρα χρησιμοποιήστε τους τύπους του Viète.

Ποιοι συντελεστές του πολυωνύμου δίνουν το άθροισμα των γινομένων των ριζών ανά τρεις και το γινόμενο όλων των ριζών;

🧠 Η ιδέα

Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε ποιες είναι οι ρίζες.

Αρκεί να γνωρίζουμε τις συμμετρικές σχέσεις μεταξύ τους.

Μπορείτε να βρείτε την τιμή σε λίγα δευτερόλεπτα;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →