🧮 Η αρχαία ινδική μέθοδος (μέθοδος Bakhshali) για την προσέγγιση τετραγωνικών ριζών

Υπάρχει ένας κομψός τύπος που μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε μια τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιώντας μόνο τις τέσσερις βασικές πράξεις.

Η μέθοδος είναι γνωστή ως μέθοδος Bakhshali, από το ομώνυμο ινδικό μαθηματικό χειρόγραφο.

Αν \(x\) είναι ο αριθμός του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα και \(n^2\) ένα κοντινό τέλειο τετράγωνο, χρησιμοποιούμε την προσέγγιση

\[ \boxed{ \sqrt{x}\approx \frac{n^4+6n^2x+x^2} {4n^3+4nx} } \]

όπου επιλέγουμε το \(n\) έτσι ώστε το \(n^2\) να βρίσκεται κοντά στο \(x\).

✏️ Παράδειγμα: Υπολογισμός του \(\sqrt5\)

Το πλησιέστερο τέλειο τετράγωνο στο \(5\) είναι

\[ 4=2^2, \]

άρα επιλέγουμε

\[ n=2,\qquad x=5. \]

Αντικαθιστούμε στον τύπο:

\[ \sqrt5 \approx \frac{2^4+6\cdot2^2\cdot5+5^2} {4\cdot2^3+4\cdot2\cdot5}. \]

Έτσι

\[ \sqrt5 \approx \frac{16+120+25}{32+40} = \frac{161}{72}. \]

Επομένως

\[ \boxed{ \sqrt5\approx\frac{161}{72}\approx2{,}236111\ldots } \]

ενώ η πραγματική τιμή είναι περίπου

\[ \sqrt5\approx2{,}236068\ldots \]

Η διαφορά είναι μόλις περίπου

\[ 0{,}000043. \]

✨ Το εντυπωσιακό σημείο

Χωρίς αριθμομηχανή και χρησιμοποιώντας μόνο ένα κοντινό τέλειο τετράγωνο, καταλήγουμε στο απλό κλάσμα \[ \frac{161}{72}, \] το οποίο προσεγγίζει το \(\sqrt5\) με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων.

💡 Μια μαθηματική πρόκληση

Δοκίστε την ίδια μέθοδο για το

\[ \sqrt{10}. \]

Ποιο \(n\) θα επιλέγατε και πόσο κοντά θα βρεθείτε στην πραγματική τιμή;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →